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Ö. Ore.

Soll nämlich o i > s¡ e¡ sein, so wird die Körperdifferente sicher durchp°'~ 1+s ' e ' +1 = jpi'' +1)e ' teilbar, und man hat daher nach (19) die Kon-gruenz

F i '(m) = e ; 99 (co)"' -1 cp' (co) -¡-pM'(co) == 0 (modpf' +1)e <),woraus, wie in § 2, leicht die identische Kongruenz

e i <p(x) e '~ 1 cp' (X) + p M' ( X ) = 0 (mod p" i+l )

oder

M' (x) = —p'' 1 cp(x) e ' v ' _1 cp' (x) (modp 5 ')

folgt. Diese Kongruenz ist aber nach Satz 9 nicht möglich, wodurch (23)bewiesen ist.

Ich untersuche weiter, welche Zahlen o i , wofür 1 ■s i e t - wirklich

als Supplementzahlen vorkommen können, wenn die Ordnung e¿ des Prim-ideals gegeben ist. Man beweist dann den Satz:

Satz 11. Es sei o i eine Zahl, wofür 1 ^ Q i ^s i e i . Es gibt dannimmer solche Körper n-ten Grades, daß die Körperdifferente genau durchPi'~ 1+e> teilbar ist, außer ivenn g i die folgenden Ausnahmewerte annimmt :

2p, ...,

(24)

e i>2 e¡,

P>

e¿+P 2 ,

2 e { + p 3 ,

e i2 e-

2 p\...2p 3 ,...

P,

2e i -p"',Ze-p\

-(«» — l)e<, («<—1)^+3?*, {s i -l)e i - s r 2p s ,...,s i e i —p s .

Es folgt zunächst leicht, daß q . den maximalen Wert s i e i annehmenkann 14 ); man braucht nämlich nur in (19) M(x)=m zu setzen, wo mganz rational ist. Dann ist M'(x)= 0 und daher die Körperdifferentegenau durch p^~ x+s ' e i teilbar.

Wenn aber Q i <s i e i ist, so ist also in (19) das erste Glied durchp¡'~ 1+8 ' e ' teilbar, und daher muß die Zahl pM'(co) genau durch p*'~ l+e 'teilbar sein, d.h. die Zahl M'(co ) wird genau durch teilbar.

Wenn Q i zu den Ausnahmezahlen (24) gehört, kann man

q { — ae i + kp a+1 , kp a+l <e¡schreiben. Dann besteht also die Kongruenz

M'(m) = 0 (mod p?' -1 ),

14 ) Diese Tatsache ist schon von Herrn Bauer in seiner Arbeit: VerschiedeneBemerkungen über die Différente usw., Math. Zeitschr. 1(> (1923), S. 1 — 12, bewiesenworden. Weiter ist auch bewiesen, daß q , = 1 sein kann; man sehe die Arbeit:M. Bauer, Bemerkungen zur Theorie der Différente, Acta litt. ac. scient, reg. Univ.Hungaricae 1 (1923), S. 195-198.