Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 349

woraus, wie in § 2 leicht folgt, daß M'(x) die Form

M'(x) s p" cp (x) kv ' 1-1 Q(x) (mod p a+1 )

haben muß, was nach Satz 9 nicht möglich ist.

Wenn aber g. nicht zu den Ausnahmezahlen gehört, kann man

9i = a + kpP, Je ^ 0 (mod p)

schreiben. Wird dann

(25) M(x) — m -j- p"~ ß (p (x) kp/1gesetzt, so ist

M '(co) = p"~'' Jcp'' cp (a)) kpl _1 cp'(w)

genau durch ^" e i +kvli ~ i — teilbar.

Den Satz 11 kann man auch auf eine andere einfachere Form bringen.Die Zahl g i — s i e i ist, wie schon bemerkt, immer als Supplementzahlmöglich. Wenn dagegen 1 g. < s { e¡ ist, dividiert man g i durch e¡:

(26) g. = ae i -\-b, 0 <La<s { , 0 b < e.,

wobei also a = wird, und wenn in diesem Falle die Zahl g i genaudurc h p T ' teilbar ist, so folgt leicht aus Satz 11, daß sicher r i <s i seinmuß, wenn g i für das gegebene e i als Supplementzahl möglich sein soll.Die Gleichung (26) zeigt dann, daß die Zahl b auch genau durch p r < teil-bar wird. Die Ausnahmezahlen des Satzes 11 sind aber eben diejenigenZahlen (26), wofür b durch eine höhere Potenz als p a teilbar ist. Dienotwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß g i als Supplementzahlmöglich ist, wird daher r { ^a — .

Satz 12. Es sei g i eine genau durch p r > teilbare Zahl, wofür1 ^Q i ^s i e i ist. Wenn dann g i in bezug auf e i als Supplementzahlmöglich ist, so ist entweder g i = s i e ; oder 1 ^ e ; , und in diesem

Falle muß r¡ j^J sein.

'§ 4.

Einige Existenzsätze für algebraische Körper.

Man kann unter Anwendung dieser Untersuchungen einige wichtigeExistenztheoreme für algebraische Körper mit gegebenen Eigenschaftenbeweisen.

Satz 13. Wenn zivei Systeme

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