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0. Ore.

von ganzen rationalen und -positiven Zahlen so gegeben sind, daß

e i fi ~r e -2 /2 + • ■ • + e r fr = 71

ist, so kann man immer einen solchen algebraischen Körper K n-ten Gradesbestimmen, daß die Primzahl p in K die Primidealzerlegung

P = Pi' pt • • • Pr r i Npi = p f <

hat 15 ).

Man bestimmt bloß zu jedem Primideale eine Primfunktion cp { (x) (mod p)vom Grade und bildet das Polynom

(27) f i (x) = (p i (x) e ' + pM { (x),

wobei alle M { (x) voneinander verschieden sein sollen und Mjx) (mod p)nicht durch r p { (x) teilbar. Die Diskriminante des Produkts

n {x) = f x (x) f„(x)... f r (x)ist dann von Null verschieden und genau durch p s teilbar. Das Polynom

f(x) = n (x) + p 5+1 M(x)

zerfällt daher (mod^ l5+1 ) in die r-irreduziblen Faktoren f { {x), und dieGleichung f (x) = 0 definiert folglich den gewünschten Körper, wenn sieirreduzibel ist. Die Irreduzibilität von f(x) erreicht man aber leicht da-durch, daß man M(x) so wählt, daß f (x) in bezug auf einer anderenPrimzahl den Bedingungen des Eisensteinschen Irreduzibilitätssatzes genügt.

Es seien nun die Systeme e i und f i des Satzes 13 gegeben. Wenndann weiter die Zahlen

^1) ^2.' • ' ' ) Qr

so gegeben sind, daß o ¡ = 0 ist, wenn e¿ nicht durch p teilbar ist, während1 wenn e { genau durch p 3 ' teilbar ist, soll aber in diesem

Falle nicht zu den Ausnahmezahlen (24) gehören, so sage ich kurz, daßdie Zahlen g. in bezug auf p ein System von möglichen Supplement-zahlen zu den Zahlen e i bilden. Es kann nun bewiesen werden:

15 ) Diesen Satz habe ich zuerst in meiner Arbeit: Zur Theorie der algebraischenKörper, Acta math. 44 (1923), S. 219 — 314, bewiesen. Man vgl. auch die Arbeit:Zur Theorie der Eisensteinschen Gleichungen, Math. Zeitschr. 20 (1924), S. 267—279.Ein Beweis desselben Satzes, aber auf Relativkörper erweitert, ist später von HerrnH. Hasse, Zwei Existenztheoreme über algebraische Zahlkörper, Math. Annalen 95(1925), S. 229 — 238, gegeben worden. Man zeigt leicht, daß man mittels der hiergegebenen Untersuchungen dieselbe Erweiterung beweisen kann; diese Methode hatweiter den Vorteil, daß man alle Zahlkörper mit dieser Eigenschaft bestimmen kann;man vgl. die Note: Ö. Ore, Ein Problem von Dedekind, Acta litt. ac. soient, reg.univ. Hungaricae 2 (1924), S. 15—17.