Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 351

Satz 14. Es seien

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drei Systeme von Zahlen, wo ¿ e i f i = n ist, und die Zahlen q { in bezug

i= 1

auf p ein mögliches System von Supplementzahlen zu den Zahlen e i bil-den. Man kann dann immer einen solchen Körper K n-ten Grades be-stimmen, daß in K die Primzahl p die Primidealzerlegung

V = Np { = p f{

besitzt, und weiter die Körperdifferente von K genau durch teil-

bar ist.

Die beiden letzten Sätze lassen sich einfach auf eine beliebige end-liche Anzahl von Primzahlen ausdehnen. Die Kichtigkeit des letzten Satzesfolgt sofort dadurch, daß man in (27) für nach (25) Ausdrücke

von der Form

M¿ (x) = + p"~''cp(x) kvl '

einsetzen kann.

Zuletzt soll noch ein Problem bei der Körperdiskriminante erwähntwerden. Nach (21) enthält die Körperdiskriminante von p genau diePotenz von dem Exponenten

(28) JjfM-i + eù-

i= 1

In diesem Ausdrucke können die Zahlen e { und /) beliebig variieren, wenn

nur vorausgesetzt wird, daß der Grad des Körpers ungeändert gleich n,

r

also e i f i = n ist, und weiter immer eine mögliche Supplementzahl

i=i

zu e¡ bildet. Es wird dann immer nach Satz 14 entsprechende Körper?i-ten Grades geben, wofür die Körperdiskriminante genau diese Potenzvon p enthält.

Ich habe für gegebene n und p den größten Wert des Ausdruckes (28)gesucht und zwar gefunden 1 "):

Satz 15. Man schreibt die Zahl n als p-adische Zahl

n — a 1 p a i + a 2 p a ~- + . .. + a s p a » (a 2 > > ... > a t ),P-

16 ) Für den Beweis dieses Satzes verweise ich auf die Arbeit: ö. Ore, Existenz-beweise in der Theorie der algebraischen Zahlkörper, Math. Zeitschr. 25 (1926),S. 474-489.