Über das assoziative Gesetz bei der Komposition derquaternären quadratischen Formen.

Von

H. Brandt in Aachen.

1.

Wenn bei einem endlichen oder unendlichen System von ElementenA, B, C, . .. eine Verknüpfung (Komposition) existiert, welche jedem ge-ordneten Paar von Elementen A, B eindeutig ein drittes Element P = ABzuordnet, so sprechen wir von der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes,wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Sind A, B, C drei beliebige Elementedes Systems und entsteht durch Komposition von A mit B das ElementAB = P und durch Komposition von B mit G das Element B C — Q,so ergibt die Komposition von P mit G und A mit Q beidemal dasselbeElement, d. h. es ist PC = AQ oder ÇA B) G = A{B G). Hieraus folgtdann in bekannter Weise, daß Kompositionen aus beliebig vielen Ele-menten A, B, ..K allein durch die Reihenfolge schon eindeutig bestimmtsind, so daß keine Klammern gesetzt zu werden brauchen.

Ist das System so beschaffen, daß zwar bei jedem geordneten Paarvon Elementen A, B eine Komposition möglich ist, das komponierteElement AB = P aber in einzelnen Fällen oder auch immer mehrdeutigbestimmt ist, so wird man ebenfalls von der Gültigkeit des assoziativenGesetzes sprechen können, wenn für jedes Tripel von Elementen A, B , Gdie Gesamtheit der Elemente X—{AB)C mit der Gesamtheit der Ele-mente Y= A{B C) identisch ist.

Wie steht es aber, wenn die Komposition nicht immer möglich ist,wenn vielmehr bei jedem vorgelegten Elementenpaar A, B zuerst entschiedenwerden muß, ob A mit B komponiert werden kann oder nicht? Hat esauch dann noch Sinn, von einem assoziativen Gesetz zu sprechen? Tat-sächlich ist das möglich. Berücksichtigt man nämlich bei jedem zu kom-ponierenden Paar von Elementen auch die Möglichkeit der Nichtkomponier-