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H. Brandt.

barkeit, so wird man zu folgenden Forderungen geführt, die in unsermFalle als Ausdruck des assoziativen Gesetzes zu gelten haben:

Aus der Existenz von A B und B C folgt die von (AB)C undi(BC). Aus der Existenz von AB und (AB) G folgt die von BG undA(BG). Aus der Existenz von BG und A (B G) folgt die von AB und(AB) G. Dabei ist in allen drei Fällen (AB)C=A(BC).

Auch wenn ein System diesen Forderungen genügt, kann man vonKompositionen aus beliebig vielen Elementen A, B, ..K sprechen. Einesolche Komposition ist, wenn sie existiert, allein durch die Reihenfolgeder Elemente bestimmt, so daß keine Klammern gesetzt zu werden brauchen.Für die Existenz aber ist erforderlich und auch ausreichend, daß an jederTrennungsstelle zweier aufeinander folgenden Elemente ... F, G ... einAggregat unmittelbar vorhergehender Elemente mit einem Aggregat un-mittelbar nachfolgender Elemente, z. B. das vorhergehende Element F mitdem nachfolgenden Element G komponiert werden kann.

Nur in dieser Weise kann bei der Komposition der quaternärenquadratischen Formen oder Formenklassen eine Gültigkeit des assoziativenGesetzes in Frage kommen. Daß dies Gesetz in diesem Sinne aber auchtatsächlich gilt, das nachzuweisen ist der Zweck der folgenden Zeilen 1 ).

2.

Die Komposition der quaternären quadratischen Formen der gleichenDiskriminante führt auf Systeme von endlich vielen Formenklassen,A,B,G,..., die zwar alle durch die Komposition eng miteinander ver-knüpft sind, aber doch nicht beliebig untereinander komponiert werdenkönnen. Wir bestimmen ein solches System von Klassen in der folgendenWeise. Wir wählen eine der für die Komposition in Betracht kommendenKlassen primitiver Formen, also primitiver /t-Formen 2 ) beliebig aus. Dannfügen wir zu dieser Klasse A alle primitiven Klassen B der gleichenDiskriminante hinzu, mit denen A rechts oder links komponiert werdenkann, für die also die Kompositionen A B oder B A existieren. Jede der

*) Vgl. hierzu die früheren Arbeiten:

I. Über ein Problem von A. Hurwitz, quaternäre quadratische Formen betreffend.Math. Ann. 88 (1923), S. 211.

II. Der Kompositionsbegriff bei den quaternären quadratischen Formen. Math.Ann. 91 (1924), S. 300.

III. Die Hauptklassen in der Kompositionstheorie der quaternären quadratischenFormen. Math. Ann. 94 (1925), S. 166.

IV. Über die Komponierbarkeit quaternärer quadratischer Formen. Math. Ann.94 (1925), S. 179.

2 ) II, S. 302.