Assoziativität der Komposition quaterniirer Formen.

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hinzugefügten Klassen B behandeln wir wieder ebenso wie die Ausgangs-klasse A. In dieser Weise fahren wir fort und ergänzen das System fürjede bereits aufgeführte Klasse durch alle damit rechts oder links kom-ponierbaren Klassen, soweit diese Klassen nicht bereits aufgeführt sind.Das Verfahren muß einmal zu einem Abschluß kommen, da es nur end-lich viele Klassen der gleichen Diskriminante gibt. Wir haben dann einin sich abgeschlossenes und zugleich möglichst kleines System von Klassenerhalten, das mit jeder Klasse, die darin aufgeführt ist, auch alle Klassenumfaßt, mit denen diese Klasse rechts oder links komponiert werden kann.Offenbar ist die3 System durch eine beliebige seiner Klassen schon voll-ständig bestimmt.

Dies System ist nun tatsächlich von der oben erörterten Art. Daßdie Komposition der Klassen nicht immer eindeutig ist, könnte leichtdurch Beispiele belegt werden 3 ). Daß in dem System aber im allgemeinen(sobald nämlich mehr als eine Hauptklasse darin vorkommt) nicht zweibeliebige Klassen komponiert werden können, wurde früher gezeigt. Fürdie Komponierbarkeit der Klasse A mit der Klasse B ist nämlich not-wendig 4 ) und hinreichend 5 ), daß die rechts zugehörige Hauptklasse von Amit der links zugehörigen von B übereinstimmt.

Der Nachweis, daß in diesem System von Klassen das assoziativeGesetz in dem obigen Sinne gültig ist, wird nun in zwei Schritten erledigt.Zuerst wird gezeigt, daß die drei genannten Existenzforderungen erfülltsind. Dann folgt der Nachweis, daß die Kompositionen (AB) C und A(B C),wo sie existieren, zu demselben Ergebnis führen.

3.

Der erste Teil des Beweises ergibt sich unter Benutzung frühererErgebnisse sehr einfach. Zum Beweise bezeichnen wir durch A, B, C, ...wie oben die Klassen unseres Systems, setzen aber nicht voraus, daß ver-schiedene Symbole auch verschiedene Klassen bezeichnen. Ist dann Amit B komponierbar und AB = P, so haben B und P dieselbe rechts zu-gehörige Hauptklasse 1 ). Je nachdem nun, ob diese Hauptklasse der Klasse Glinks zugehört oder nicht, sind die beiden Kompositionen B C und P Cgleichzeitig möglich 5 ) oder gleichzeitig nicht möglich 1 ). Ist ebenso B mit Ckomponierbar und BC = Q, so haben B und Q dieselbe links zugehörigeHauptklasse 1 ). Je nachdem nun, ob diese Hauptklasse der Klasse A rechtszugehört oder nicht, sind die beiden Kompositionen A B und A Q gleich-

3 ) II, S. 314.

*) IV, S. 194.

5 ) IV, S. 196.