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H. Brandt.

zeitig möglich 5 ) oder gleichzeitig nicht möglich 1 ). Daraus ergeben sich aberdie obigen drei Existenzforderangen.

Es ist also nur noch zu zeigen, daß überall da, wo die Kompositionen(AB)C und A(BG) einen Sinn haben, die Gleichheit (A B ) C = A(B C)stattfindet. Zu dem Zwecke wählen wir aus den Klassen A, B, C, ... inbeliebiger Weise je eine bestimmte die Klasse repräsentierende Form ausund bezeichnen diese Formen wie ihre Klassen ebenfalls der Einfachheithalber durch A, B , C, ... .

Sind nun A, B , C, D, D', L, K solche nicht notwendig sämtlich ver-schiedene Formen, für welche aber die Kompositionen AB — L, LC — Dund B G = K, A K = D' möglich sind, so gibt es bilineare Substitutionen31, N, 3H\ N' mit den für die Komposition erforderlichen Eigenschaften"),welche der Keihe nach diese Kompositionen vermitteln. Übt man nunin N auf die Variablen von L die bilineare Substitution 31 aus, so ent-steht eine trilineare Substitution 2ÎÎ> die nach einer früher benutztenSymbolik 7 ) durch

zu bezeichnen ist und die Komposition ( AB)C = D vermittelt. Übt manebenso in JSi' auf die Variablen von K die bilineare Substitution 31' aus,so entsteht eine trilineare Substitution

welche die Komposition A(BG) = D' vermittelt.

Der hier erforderliche Nachweis, daß die Gesamtheit der Formen Dmit der Gesamtheit der Formen D' identisch ist, wird nun sogleich er-bracht sein, wenn wir, was im folgenden geschehen wird, sogar zeigenkönnen :

Jede trilineare Substitution, welche bei Zusammenfassung zweier inder einen Weise nacheinander ausgeführter Kompositionen entsteht, kanngleichzeitig auch durch Zusammenfassung zweier in der andern Weisenacheinander ausgeführter Kompositionen hergeleitet werden. Symbolischgeschrieben heißt das: Die eine der beiden Formeln

m =^

31

211 = ^

°) II, S. 304.') III, S. 168.