Assoziativität der Komposition quaternärer Formell.

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zieht die andere nach sich. Die Kompositionen (Ali) C ~ D und A(B G) = Dbedingen sich also gegenseitig und können beide durch dieselbe trilineareSubstitution vermittelt icerden.

4.

Um nun diese Behauptungen zu beweisen, bezeichnen wir wie früher")durch Vo die bilineare Substitution der Quaternionenmultiplikation

Z q = X q y 0 X^ i/j 3-2 2/2 3 y 3 ' ^1 x o Vi "I - x i Vo i~ y s x s y a usw.und durch A, B, T, A, A, K lineare Substitutionen, welche die Form E,d. h. eine Summe von vier Quadraten bzw. in A, B, C, D, L, K trans-formieren. Sind nun M , JY bilineare Substitutionen, welche die Kom-positionen AB = L, LG = D vermitteln, so kann man nach früherem 8 )A, B, r, A, A mit gleicher (positiver bzw. negativer) Determinante so be-stimmen, daß die Formeln

✓ A / A

^=A- 1 .F 0 ( , JY = A~ ■ V 0 (

B T

erfüllt sind. Setzt man dann

M' = K -1 - F„^ B , jy' = A~ l -F 0 ; A

K

wobei über die Substitution K noch Näheres festgesetzt werden soll, soist wegen der aus der Assoziativität der Quaternionenmultiplikationfließenden Beziehung ^

j7 /^° y

0 ° \ F '

* 0

wie man durch Einsetzen der vorigen Formeln findet, jedenfalls

/M

N y =S\.

-31'

Nun kann aber K so gewählt werden, daß N' und 31 ' wirklich auchKompositionen vermitteln. Die Möglichkeit, der ganzzahligen Bestimmungvon JV' und 31' folgt zunächst aus diesem allgemeinen Hilfssatz:

Wenn eine bilineare Schar ganzzahliger Matrizen als Produkt nichtsingulärer linearer Scharen darstellbar ist, können diese auch ganzzahliggewählt werden.

8 ) I, S. 214.