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H. Brandt.

(Wird nämlich die bilineare Schar durch !T (U> x { y k bezeichnet und

ik

ist diese in der Form T ll) x { - ¿ T'® y k darstellbar, wobei die Deter-

i k

minanten | ¿ T (i) x { |, \ 2 T' ik) y k | nicht identisch verschwinden, so schließt

i k

man aus der Ganzzahligkeit der T [1,l) leicht, daß sich eine nicht singu-lare Matrix R so bestimmen läßt, daß die sämtlichen Matrizen T h) Rund iü -1 T' u> ganzzahlig ausfallen.)

Ist die Substitution K diesem Hilfssatz entsprechend bestimmt und hatman dabei noch das Vorzeichen der offenbar reellen Determinante von Kebenso gewählt wie das der Determinanten der Substitutionen A, B usw.,so möge die Form, in welche E durch K transformiert wird, durch K be-zeichnet werden. Dann werden durch die bilinearen Substitutionen 31'und jV ' die Identitäten BC=K und AK=D vermittelt. Dabei handeltes sich aber um Kompositionen; denn 31' und JV ' haben wegen desgleichen Vorzeichens der Determinanten von A, B, . . ., K positive Signaturund Art, und A, B, C, D, K sind primitive Formen der gleichen Dis-kriminante. Das ist nur noch von K zu zeigen. K ist zunächst ganz-zahlig, da N' es ist, K hat aber auch dieselbe Diskximinante wie dieübrigen Formen, weil wegen der Identität BG—K die Diskriminantehöchstens so groß sein kann und wegen der Identität AK = D mindestensso groß sein muß wie die der übrigen Formen, endlich ist K primitiv,weil K durch 31' in das Produkt der primitiven Formen B, C trans-formiert wird.

Damit ist aus der Komposition (AB) C = D die andere A(BC) = Dhergeleitet. Da man in ganz entsprechender Weise auch aus der zweitenKomposition die erste findet, ist damit die Gültigkeit des assoziativenGesetzes nachgewiesen.

5.

Dies Gesetz gestattet, die Definition des Kompositionsbegriffes, dieursprünglich nur für zwei Formen gegeben wurde 8 ), auf drei und mehrFormen auszudehnen.

Die trilinearen Substitutionen, die bei Kompositionen von der Ge-stalt (A B) C oder A (B G) auftreten, unterscheiden sich nach dem vorigennicht. Sie können durch gleichzeitige lineare Transformation ihrer vierVariablenreihen durch Substitutionen mit gleichen Determinanten in die-jenige trilineare Substitution übergeführt werden, welche bei der Multi-plikation dreier Quaternionen die Komponenten des Produktes durch dieKomponenten der Faktoren ausdrückt. Umgekehrt läßt aber der vorigeBeweis erkennen, daß jede ganzzahlige trilineare Substitution, welche bei