Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.

Von

H. Brandt in Aachen.

Durch Probleme aus der Theorie der quaternären quadratischen Formenbin ich schon vor längerer Zeit auf eine Verallgemeinerung des Gruppen-begriffes geführt worden 1 ), die auch auf anderen Gebieten von Bedeutungsein dürfte — erscheint sie doch überhaupt als eine naturgemäße und so-gar notwendige Ergänzung zur gewöhnlichen Gruppentheorie —, weshalbich mir erlaube, diese Begriffsbildungen im folgenden zu entwickeln. Da-bei wird von den Untersuchungen aus der Zahlentheorie der quadratischenFormen, die dazu die Veranlassung gaben, nichts gebraucht werden, son-dern alles auf einfache Postulate gegründet.

Es sei also eine endliche 2 ) Menge von Elementen A,B,G... undzwischen ihnen ein Verknüpfungsgesetz (Komposition, Multiplikation) ge-geben, das, auf gewisse geordnete Paare von Elementen A, B angewandt,ein drittes Element C liefert, auf gewisse andere geordnete Paare von Ele-menten A, B dagegen nicht angewandt werden kann. Im ersten Fall heißtA mit B komponierbar, und C heißt das aus A und B komponierte Ele-ment oder auch das Produkt aus A und B und wird durch C — AB be-zeichnet. Im zweiten Falle heißt A nicht mit B komponierbar und einkomponiertes Element oder ein Produkt AB existiert nicht. (Hier wäredie Einführung eines neuen Elementes Null als Symbol für bisher nichtexistierende Produkte möglich, aber im allgemeinen doch von geringemVorteil, weshalb wir davon absehen.)

1 ) Vgl. hierzu „Der Kompositionsbegriff bei den quaternären quadratischenFormen", Math. Ann. 91 (1924), S. 313, sowie einen Vortrag auf der Tagung derSchweizer Naturforschenden Gesellschaft am 2. Oktober 1924, Verhandlungen derSchweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1924, II. Teil, S. 102 oder L'Enseigne-ment mathématique 24 (1925), S. 130.

*) Die meisten Sätze gelten auch für abzählbar unendlich viele Elemente.