H. Brandt. Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.

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Eine solche Menge miteinander verknüpfter Elemente soll Gruppoidheißen, wenn die folgenden vier Postulate erfüllt sind.

I. Wenn zwischen drei Elementen A, B, C eine Beziehung AB = Gbesteht, so ist jedes der drei Elemente A, B, C durch die beiden anderneindeutig bestimmt.

II. Wenn A B und B G existiert, so existiert auch (AB) G und A{B G),wenn AB und (AB) G existiert, so existiert auch B G und A (B G), wennBC und A(B G) existiert, so existiert auch AB und (A B) G , und jedes-mal ist (AB) G = A(B G), so daß dafür auch ABC geschrieben werdenkann.

Aus diesen Assoziationsgesetzen schließt man leicht, daß bei Produk-ten aus beliebig vielen Elementen sowohl Existenz wie Wert allein durchdie Reihenfolge der Elemente bestimmt sind, so daß keine Klammern ge-setzt zu werden brauchen.

III. Für irgendein Element A existieren stets die folgenden eindeutigbestimmten Elemente, die Rechtseinheit E, die Linkseinheit E' und dasinverse Element Ä, derart, daß die Beziehungen bestehen: AE = A,E'A = A, ÄA = E.

Wegen II kommen dazu noch die weiteren AÄ = E', EA-^Ä,ÄE' — Ä sowie EE—E und E'E' — E'. Demnach ist A das inverseElement von Ä, so daß man auch von zwei zueinander inversen Elementensprechen kann, und Rechtseinheit und Linkseinheit vertauschen sich beimUbergang zum inversen Element.

Die Gleichung EE = E ist offenbar für die Einheiten charakteristisch.In Verbindung mit II und I zeigt sie, daß jede Einheit E Rechtseinheitist für alle Elemente A, für die AE, und Linkseinheit für alle Elemente B ,für die EB existiert.

Die Anzahl r der verschiedenen Einheiten des Gruppoids wird alsRang bezeichnet. Gruppoide vom Rang 1 sind offenbar Gruppen.

Die Einheiten gestatten die Bedingungen der Komponierbarkeit sehreinfach zu formulieren:

Zwei Elemente A , B sind in dieser Reihenfolge dann und nur dannkomponierbar, wenn die Rechtseinheit von A mit der Linkseinheit von Bidentisch ist.

Die Existenz des inversen Elementes ergibt: Wenn für drei ElementeA,B,G eine Gleichung AB — C besteht, so gilt gleichzeitig Ä C B,G B = A, jBÄ—C, CA — B, BC — Ä. Demnach darf das inverseElement Ä auch durch A 1 bezeichnet werden, und die Produkte A A 1oder A 1 A sind nur da zu berücksichtigen, wo sie für sich allein stehen,

Mathematische Annalen. 96. 24