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H. Brandt.

während sie sonst immer fortgelassen werden dürfen. Ist AB ... M — Nein Produkt aus beliebig vielen Elementen, so hat man offenbar für dasinverse Element N' 1 = M~ x ... B 1 A \

Aus dem Bestehen einer Kompositionsgleichung A B = G ergeben sicheine Reihe von Folgerungen für die zugehörigen Einheiten von A,B,C,A,B,C. Man findet nämlich die sechs Tatsachen, deren jede auch um-gekehrt für die Möglichkeit der Gleichung AB = C hinreicht: B und C,C und A, A und B haben paarweise gleiche Rechtseinheiten, B und C,C und A, Ä und B haben paarweise gleiche Linkseinheiten (die übrigensden drei Rechtseinheiten entsprechend gleich sind).

Der bequemeren Ausdrucksweise wegen nennen wir Elemente, welchedieselbe Rechtseinheit haben, einander rechts, Elemente, welche dieselbeLinkseinheit haben, einander links und Elemente, welche dieselbe Rechts-und dieselbe Linkseinheit haben, einander doppelt zugehörig.

Endlich wird noch die Forderung erhoben:

IV. Für irgend zwei Einheiten E,E' gibt es stets Elemente A, sodaß E Rechtseinheit und E' Linkseinheit von A ist.

Die sämtlichen derartigen Elemente A sind nach der eben eingeführtenBezeichnung einander doppelt zugehörig. Sind P und Q zwei feste Ele-mente derartig gewählt, daß P die Rechtseinheit E' und Q die Linksein-heit E hat, so existiert PAQ, wie auch immer A der obigen Bedingunggemäß gewählt ist. Alle die Elemente PAQ=B sind aber verschiedenvoneinander und haben mit P die Links- und mit Q die Rechtseinheitgemeinsam. Ist andererseits B ein beliebiges Element, so wähle man nachdem letzten Postulat unter den B links zugehörigen Elementen P so aus,daß die Rechtseinheit E' ist, und unter den B rechts zugehörigen ElementenQ so, daß die Linkseinheit E ist. Dann existiert das Element P~ 1 B Q' 1und ist unter den A enthalten, so daß B durch die Formel PAQ ge-liefert wird.

Verschiedene Komplexe einander doppelt zugehöriger Elemente lassensich also stets eineindeutig aufeinander beziehen. Die Anzahl der einemElement doppelt zugehörigen Elemente hat daher für jedes Element den-selben Wert. Diese Anzahl g wird als Ordnung des Gruppoids bezeichnet.Die Anzahl der rechts und auch der links zugehörigen Elemente ist eben-falls für jedes Element dieselbe und gleich rg, die Anzahl aller Elementedes Gruppoids also r" g .

Die sämtlichen einer Einheit doppelt zugehörigen Elemente bildenoffenbar eine Gruppe. Wir nennen daher solche Elemente Gruppenelemente.Die verschiedenen Gruppen, welche auf diese Weise den verschiedenen Ein-heiten entsprechen, sind zueinander homomorph. Sind nämlich E, E