Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.

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zwei beliebige Einheiten, ist P ein Element, das die Rechtseinheit E, dieLinkseinheit E' hat und durchläuft A die Gruppe der sämtlichen der Ein-heit E doppelt zugehörigen Elemente, so durchläuft PAP eine isomorpheGruppe, nämlich die Gruppe der der Einheit E' doppelt zugehörigenElemente.

Ersetzt man in einer Kompositionsgleichung AB — C A durch A',B durch B', wobei A und A', ebenso B und B' einander doppelt za-gehörig sind, so existiert auch A' B' = C', und C und C' sind ebenfallseinander doppelt zugehörig. Demnach bilden die Komplexe einander doppeltzugehöriger Elemente selbst ein Gruppoid, und zwar ein solches von derOrdnung 1. Die Einheiten in diesem Gruppoid sind die Gruppen der denEinheitselementen doppelt zugehörigen Elemente.

Ein Gruppoid von derselben Struktur läßt sich auch aus einzelnenElementen konstruieren. Wählt man nämlich, von einem Einheitselement Eausgehend, unter den rechts zugehörigen Elementen für jede Einheit E¡ geradeein links zugehöriges Element A { aus, so bilden die Elemente A¿ Ä k offenbar einGruppoid von der Ordnung 1, das wir homomorph zu dem vorigen Gruppoidnennen können, weil sich die Elemente beider Gruppoide eineindeutig ineinfacher Weise entsprechen und dies gegenseitige Entsprechen bei Kom-positionen erhalten bleibt.

Wenn die Elemente eines Gruppoids § sämtlich in dem Gruppoid &enthalten sind, so soll § ein Teilgruppoid von © heißen; sind dabei alleEinheiten von © auch in ¡Q enthalten, so wird das Teilgruppoid auch Unter-gruppoid genannt. Wählt man in der Gruppe g der der Einheit E doppeltzugehörigen Elemente eine Untergruppe lj von der Ordnung h aus, undhaben die Elemente A i die vorhin angegebene Bedeutung, so bilden diein den sämtlichen Komplexen A¿ I) Ä k enthaltenen Elemente ein Unter-gruppoid von der Ordnung h. Man sieht auch leicht, daß jedes Unter-gruppoid bei geeigneter Auswahl der Untergruppe Í) und der Elemente A¡in dieser Weise darstellbar ist. Die Komplexe A¡ f) Ä k selbst bilden natür-lich wieder ein Gruppoid von der Ordnung 1, das zu den früheren Gruppoidenvon der Ordnung 1 homomorph ist.

Die Komplexe A { l)Ä k bilden aber auch ein Gruppoid, wenn die A iganz beliebige zu E rechts zugehörige Elemente sind. Man darf dannaber zwei Komplexe noch nicht komponierbar nennen, wenn die Elementedes ersten mit den Elementen des zweiten komponiert werden können,sondern erst dann, wenn die komponierten Elemente selbst wieder geradeeinen dieser Komplexe bilden. Die Rolle der Einheiten spielen offenbardie Komplexe A { f) Ä i . Einem beliebigen Komplex A { Í) Ä jc ist der Einheits-komplex A { 1) Ä i links, der Einheitskomplex A k Í) Ä k rechts zugehörig,während der Komplex A k Í] Ä i dazu invers ist. Die Gültigkeit der vier

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