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H. Brandt.

Postulate für das aus den Komplexen gebildete Gruppoid ergibt sich durchZurückgehen auf die in den Komplexen enthaltenen Elemente.

Es soll noch die Ordnung y und der Rang q bei diesem Gruppoidbestimmt werden. Das Produkt g y gibt an, wieviel verschiedene derKomplexe A i i)Ä lc demselben Einheitskomplex, z. B. {) rechts zugehören.Ist A ein Element aus einem derartigen Komplex, so muß dieser mitdem Komplex A Í), also auch mit einem Komplex A ■ f) identisch sein. Danun jeder Komplex A- {) h verschiedene zu E rechts zugehörige Elementeenthält, zwei dieser Komplexe aber entweder dieselben oder gar keingemeinsames Element enthalten und es im ganzen rg zu E rechts zu-gehörige Elemente gibt, so ist die Anzahl der verschiedenen Komplexe

Aj 1) gleich , demnach gilt

ra

Q7 = T -

Die Ordnung y ist gleich der Anzahl derjenigen dieser Komplexe Ají),welche dem Einheitskomplex f) gleichzeitig auch links zugehören, so daßÍ) Aj Í) = Aj \), welche Beziehung gleichwertig ist mit I) Aj = A j I). Alledieser Bedingung genügenden Elemente A. gehören der Gruppe g der derEinheit E doppelt zugehörigen Elemente an und bilden selbst eine Gruppe tt,nämlich den Normalisator 3 ) von I) in g. Die Anzahl y der verschiedenenKomplexe Aj i) ist also gleich dem Index von I) in n. Wird die Ordnungvon rt durch n bezeichnet, so hat man daher

n

y = ~h

und wegen des Ausdruckes für o y

ra

Q— •c n

Diese Betrachtungen gelten auch, wenn das ursprüngliche Gruppoid & denRang r = 1 hat, also mit der Gruppe g der der Einheit E doppelt zu-gehörigen Elemente zusammenfällt. Ist dann noch n = g, Í) also Normal-teiler von g, so wird o = 1, das entstehende Gruppoid ist also ebenfallseine Gruppe, nämlich die zu I) komplementäre Gruppe oder Faktorgruppe g/í).Wenn I) nicht Normalteiler von g ist, tritt an die Stelle der Faktorgruppeein Gruppoid, dessen Begriff somit hier als Verallgemeinerung des Be-griffs der Faktorgruppe erscheint.

Wir werden deshalb allgemein das von den Komplexen A { f) A k ge-bildete Gruppoid das zur Gruppe I) im Gruppoid @ komplementäre Gruppoidoder Faktorgruppoid nennen und durch @ /I) bezeichnen.

3 ) Siehe etwa A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung (1923), S. 38.