Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.

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Wenn man die Elemente des Gruppoids © in geeigneter Weise in einquadratisches Schema von rgxrg Feldern, und zwar jedes der rg Ele-mente g - mal einträgt, so erhält man eine Kompositionstafel, welche folgendebemerkenswerte Eigenschaft hat: Wählt man in dem Schema vier Felder,welche nicht notwendig voneinander verschieden zu sein brauchen, mit denElementen E, A, B , C , von denen E Einheit ist 4 ), so aus, daß das ersteund zweite, ebenso das dritte und vierte Feld je einer Zeile, das ersteund dritte, ebenso das zweite und vierte Feld je einer Spalte angehören,so ist A mit B komponierbar, und das komponierte Element A B istgleich G 5 ).

Man kann nämlich das Schema so ausfüllen, daß diese Eigenschaftgewiß immer dann gilt, wenn das erste Feld ein ganz bestimmtes ist.Man braucht nur in dies Feld eine beliebige Einheit, in dessen Zeile dierechts, in dessen Spalte die links zugehörigen Elemente einzutragen. Istdann aus der Zeile ein erstes, aus der Spalte ein zweites Element gegeben,so trägt man das offenbar existierende, aus beiden Elementen komponierteElement da ein, wo sich die Spalte des ersten und die Zeile des zweitenElements treffen. Füllt man das ganze Schema in dieser Weise aus,so ergeben die Assoziationsgesetze leicht die allgemeine Gültigkeit derobigen Regel.

In der Kompositionstafel enthält eine Zeile einander rechts, eine Spalteeinander links zugehörige Elemente, und zwar diese immer sämtlich undjedes Element nur einmal. Zwei Spalten oder zwei Zeilen unterscheidensich entweder nur durch die Anordnung ihrer Elemente oder haben über-haupt kein Element gemeinsam. Irgend g Elemente, die einander doppeltzugehören, finden sich in g Zeilen und in g Spalten, also genau in deng 2 Feldern, in denen diese Zeilen und Spalten zusammentreffen.

Da man in der Kompositionstafel die Zeilen und auch die Spaltenbeliebig anordnen darf, so kann man die rg Felder, welche Einheits-elemente enthalten, in die von links oben nach rechts unten verlaufendeDiagonale bringen. Dann enthalten Felder, welche spiegelbildlich zurDiagonale stehen, zueinander inverse Elemente. Trifft man dabei die An-ordnung so, daß immer die g Felder mit derselben Einheit in derDiagonale aufeinander folgen, so ist damit eine Einteilung des Schemasin quadratische Bezirke von je g 3 Feldern gegeben, und jeder Bezirkenthält g verschiedene einander doppelt zugehörige Elemente. Die Ein-teilung in Bezirke gibt zugleich die Kompositionstafel für das von denKomplexen dieser Elemente gebildete Gruppoid.

4 ) Ist E beliebig, so gilt AE B = C.

s ) Vgl. hierzu ').