Über die Transzendenz gewisser dyadisclier Brüche.

Von

P. E. Böhmer in Dresden.

Einleitung.

Eine nur aus Nullen und Einsen gebildete unendliche Folge a k ,[¿==0,1,2,...], definiert eine Zahl

(!) "-¿"¿Si

jfc=0 4

des abgeschlossenen Intervalles (0, 1) und weiter eine zweite unendlicheFolge \m— 1,2,3,...], deren Glieder

(II) w^ m) = ~ a k ,

k= o

die relative Abschnittshäufigkeit der Eins in der Folge a k bedeuten 1 ).Umgekehrt bilden die Koeffizienten der dyadischen Entwicklung einerreduzierten Irrationalzahl u , [ 0 < u < 1 ],

(III) a lc = [2 k+1 u]-2[2 k u],

unter [a;] die größte ganze Zahl x verstanden, eine unendliche Folgevon Nullen und Einsen, der vermöge (II) eine w; (m, -Folge zugeordnet ist.Von besonderem Interesse ist nun der Fall, daß die Folge einen Grenzwert

(IV) tt> = limw (m)

m= co

besitzt.

Es sei iv eine beliebig vorgegebene reduzierte Irrationalzahl, [0 < w < 1] ;dann ist 2 )

f 0 odera lc = [kw -{■ w] — \kw] — j ^

') Vgl. Böhmer, Berichte der math.-phys. Kl. d. Sächs. Akademie 75 (1923), S. 91 f.") Vgl. dieselben Berichte 76 (1924), S. 149f.