368 P. E. Böhmer.
und somit
di u= y r tw +w]-[¿«>]
^ ' S ! -, /-±1
k=i
ein dyadischer Bruch-, da hier
) k-\- 1fc=0 *
w
fa.1 — r»«]
m
ist, besitzt die Folge iv lm) den Grenzwert w.
In der nachfolgenden Untersuchung beweise ich das
Theorem. Sind die Teilnenner des regelmäßigen Kettenbruches fürw unbeschränkt, so ist die durch (1) definierte Zahl u transzendent.
§1-
Hilfssätze über [rw~\.
Der regelmäßige Kettenbruch für die reduzierte Irrationalzahl w habedie Gestalt
(2)
, ¡rí=l
a 3 + ...
wo die a n natürliche Zahlen sind. Werden die Zahlen p und q durchdie Differenzengleichungen
f Pn + l a n+lPn~ i T Vn-1'
l ?« + l = «» + !?« '+?»-!
und die Nebenbedingungen
(3.) = ^ -1 '
I So = 1. ?i - «,
bestimmt, so ist
< 4 > "--f.
der îi-te Näherungsbruch von w; es gelten dann bekanntlich die Dar-stellungen
(»i
n—0 q " q,, + 1
und
(6) «> = <»„ + {-V2
so daß stets die Ungleichungen
J
j _ q Qn + lthi + U + i
W^ v < W < lV« v+1