Transzendenz dyadischer Brüche. 3gg

erfüllt sind. Aus (6) folgt die wichtige Formel

(7) [o<i<i],

auf die sich die drei nachfolgenden Hilfssätze stützen.

Hilfssatz 1. 1st 0 < r q n + 1 und r 0 (mod q n ), so ist

(8 a) [rw] = \ ~-

L Hn

Beweis. Da nach Voraussetzungist, folgt aus (7)

0 < , r . — < e < 1O +V) 1n+i

r P« + (— !) e

rw — — — ;

In

da ferner nach Voraussetzung rp n :q n eine gebrochene Zahl, also

[~ r Vn ~\ I J < rp« q„-1

- ( ln -I L Qn J

und

[Mi + 1 +(-*)"* < rw < r^i + a.- i+(-i)"«

L J q n = = L q» J ' q n

ist, ergibt sich die Behauptung (8 a). Insbesondere gilt also (8 a) stets,wenn r < q n ist.

Hilfssatz 2. Ist 0 <r<^q n+1 und r=mq n , so ist(8b) [rw] =mp n — •

Beweis. Aus (7) folgt hier

. (—1 ) n m

nun ist aber nach Voraussetzung mq n ^q n + 1 , daher

m ^ 1

9w -f- 1 ÇLn

und

( 1 \ n

riv=mp n -\ — [0 < e < 1 ].

( ln

Somit erhalten wir

[rw]

Í mp n

1 mp n - 1

für gerades n,für ungerades n,in Übereinstimmung mit der Behauptung (8b).

Hilfssatz 3. Ist 0 < r <¡ q n+1 , und sind r' und m durch die Be-dingungen

r — r' + mq n , 0 <r'<Lq n