370 P. E. Böhmer.

bestimmt, so gilt

(8c) [rw] = [r'w] + mp n .

Beweis. Für 0 < r' < q n gelten nach Hilfssatz 1 die Gleichungen

Ir' + mqjw] — [(r' + oiîj J] — +

e'»] -.[*?$

hingegen bestehen für r' = q n nach Hilfssatz 2 die Gleichungen

[{m + 1) q n w] = {m + 1) p n - —,

r i l-(-l)"[iM = Pn - 2 •

In jedem der beiden Fälle liefert die Differenz des Gleichungspaares diebehauptete Gleichung (8c).

§2.

Die Funktion 0 (tv).

Die im Einheitskreis erklärte und über diesen Kreis nicht fortsetz-bare analytische Funktion

(p (z) = (l — z)JJa k z k , M<1,

(9)

k=0

K k = [kw -j- w\ — [kw]

nimmt an der Stelle z — \ den Wert

(9a)

an und strebt bei Annäherung an die Stelle z — 1 unbeschränkt demGrenzwerte

(9b) lim 9 ?(z) = w

Z—l

zu. Durch (9) ist <p (z) nicht nur für die irrationalen reduzierten, sondernfür alle reellen Werte von lo eindeutig erklärt; indem wir von jetzt anw als das Argument, z aber als einen positiven echt gebrochenen Para-meter ansehen, schreiben wir nunmehr 0(z¿>) für cp (z). Eine naheliegendeUmformung von (9) liefert die Darstellung

o œ

(10) 0(w)= (] - z z) ' 2J[kw]z k ;

i=l

sie lehrt, daß <l> (w ) für positives z eine monoton wachsende Funktionvon w ist, die an den Stellen 0 und 1 die Werte0(O)=O und 0(1) = 1