Transzendenz dyadischer Brüche.

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annimmt und jede rationale Stelle zur Sprungstelle hat. Ist nämlich

(IIa) w 0 ~^, (p < q und p, q teilerfremd),

so wachsen, wenn das Argument wachsend den Wert w 0 annimmt, gleich-zeitig die Glieder

[mqw], [m = 1,2,3,...],

je am die Einheit; die Sprunggröße beträgt also

(IIb'

(1-z) 2

q- 1

1-Z «

Indem wir die Menge der rationalen echten Brüche mit Einschluß der 1nach Nennern q ordnen nnd jetzt unter cp(q) die Anzahl der positivenechten teilerfremden Keste von q verstehen, erhalten wir für die Summealler Sprünge im halboffenen Intervalle 0 < w 1 den Wert :! )

V m („\Lz£l.

<p(q)~ „ :?=i-

q = l

Da die gesamte Zunahme der Funktion also mit der Summe ihrer Sprüngeübereinstimmt, ist <&(«;) an allen irrationalen Argumentstellen stetig; da0(w) weiter an allen rationalen Stellen den oberen Grenzwert annimmt,ist &(w) obere Limesfunktion. Die zugehörige untere Limesfunktion & (w)wird an der Stelle w 0 = ^ auf Grund von (11) durch

{12)

(2-1

dargestellt; an irrationalen Argumentstellen hingegen ist C J> [w) mit C I> {w)identisch und kann deshalb einfacher mit <P{w) bezeichnet werden.

Durchläuft das Argument eine konvergente Folge rationaler echt ge-brochener Werte w n [n — 1,2,3,...] mit dem irrationalen Grenzwerte w,so haben die beiden Funktionenfolgen 0 (w n ) und C J J (w n ) den gemein-samen Grenzwert denselben Grenzwert besitzt auch eine Funk-tionenfolge (p[w n ), wenn <&(w n ) bei jedem einzelnen n in beliebiger Weiseentweder gleich 0(to n ) oder gleich (w n ) gewählt wird 4 ).

3 ) Vgl. etwa K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Berlin1922, S. 435.

4 ) Man erkennt leicht, daß der Wertevorrat des Funktionenpaares '/'(w), ']> (w)im Argumentintervalle 0 < w < 1 eine perfekte nirgends dichte Untermenge des Kon-tinuums von 0 bis 1 bildet, die die Mächtigkeit des Kontinuums und das Maß Nullbesitzt.