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P. B. Böhmer.

§3.

Die Funktion <P (^) .

Die Funktionen <I> eines rationalen Arguments ^ sind rationale Funk-tionen des Parameters z; denn man findet aus (10), wenn k = r J r mqgesetzt wird,

1 [?] - ¿ È (-P + [?]) — fe* + [?].'}.

*=1 m=0 r=l l r = l a J

also

< 13 "

Ist p:q unkiirzbar, so erhält man aus (lia) und (lib)

(13b) ® (£)_ÛJ=î>l/î^l' + 2" [-1

V z(l-z») ( 1 — z fti L q j \

Wir betrachten nun f P(w) als Grenzwert einer Funktionenfolge f I> (w n ),deren Argumente die Näherungsbrüche der Irrationalzahl w sind. Da ausden Ungleichungen

Wov < W < W 2v+i

wegen der Monotonie von &(w) auch die Ungleichungen

( J>{w 2r ) < <£(tt>) < <P(w 2v+ 1)folgen, erhalt en wir d ie besten Näherungen an ( P (w), wenn wir

j <P(w 2v ) = 0(w 2v ),

\ 0(w 2v+i ) = $(w 2v+1 )

wählen. Die dieser Wahl entsprechenden Darstellungen (13a) und (13 b)lassen sich vermöge der Hilfssätze 1 und 2 auf eine gemeinsame Gestaltbringen. Man hat nämlich nach (8 a)

= [rw>] für r<q,

dagegen nach (8b)

[y] = V = [*■ w] + für r = 1\

das liefert aber in (13a bzw. b) eingesetzt beidemale denselben Ausdruck