Transzendenz dyadischer Brüche. 373

Endlich gewinnen wir durch Einführung des Parameters 'Q

an Stelle von z die Darstellung

(14) C *(í)-R;¡ -Hg.

WO

q

P (£) = (£— 1) ^[riv]C s ~ r + p,

(14a)

Polynome in f sind.

<2(0=^

§4.

Der Kettenbruch für <P(w).

Zwischen den Zählern P(C), die zu drei aufeinanderfolgenden Nähe-rungsbrüchen von w gehören, besteht eine lineare Beziehung, die wir durcheine Umformung des Ausdruckes

Qji + I

P n+ An = U -1) J] [rw)^~ r + Pn + 1

r=l

gewinnen können; wir stützen uns dabei auf die Gleichungen (3) und denHilfssatz 3 des § 1. Setzt man

r = r' + mq n , [0 <r'<Lq n ],

so erhält man, wenn der Akzent nach der Ersetzung wieder weggelassen wird,

q q a —1

71 + 1 „ „ n «4.]

2[rw]t in " 0,2 2 8 "

r=l r— 1 m=0

+ Ê[{r + a n + 1 q n )w] f 4 »-"''

r—l

und daraus durch Anwendung der Gleichung (8c)

Qn f = J [f«] f

r— i r=l m—O r=l

« +1 1

1..

Wird jetzt

+ PnUC^ 2 IVn + an + 1 P n U f—"

r=i m— O r= i

= ' c " n ¡ l Q f'" 1 = A n+1 (o

m=0 Ç ' n - 1