374 P. E. Böhmer,

gesetzt, so ergibt sich

"" V 1 m + i n __ C g "+' — _ ttn + i £ g "-i _ A n+1 — a n + 1 C g « -i

»r^O (Í*»-!) 2 £"»-1 ~~ £ Q n- 1

und es erscheint nach gehöriger Zusammenfassung

2 = 4.+1 (J? l> «>] f ? " -r + i) +ÏJ [> «0 >

also

Pjt + 1 = A + l ((£ ~ 1)^' + 2>«) + (£ — 1) + P„-i »

x r=l ' r=l

oder mit Rücksicht auf (14 a)

(3*, P) ^+ii^P. + P«.!;

und damit ist die zu Beginn dieses Paragraphen angekündigte lineare Re-lation aufgestellt. Man erkennt unmittelbar aus der Gestalt von A +1und der Definition (14a) von Q n , daß für die Q dieselbe lineare Relation

(3*) Q) 6 n +i = Ai+i6ii"l"6 n -i

besteht; da sich ferner aus den Gleichungen (14 a) wegen (3 a) die Sonder-werte

' P 0 = 0, P 1 = 1,

(3 a)

Q 0 = 1, Qi~ ^ziy 1 ' = A 1

ergeben, bilden die A n die Teilnenner, die P n und Q n die Näherungszählerbzw. Näherungsnenner der Kettenbruchentwicklung von 'Q f I> (uj). Das ge-samte Ergebnis zusammenfassend können wir sagen:

Bedeutet <p(z) die durch (9) erklärte Funktion und stellt (2) den

1

C

regelmäßigen Kettenbruch für die Irrationalzahl w dar, dann wird 'Ç cpdurch den Kettendruch

:»>

mit den Teilnennern

—l—l y q

(15a) AU) = " -- =

\ / n \ ' / t.« "i ».(7 ^ ^

formal dargestellt. Die Teilnenner sind also Polynome in Ç und gehenfür C=1 in die Teilnenner von w über; der Kettenbruch (15) konver-giert daher für £ = 1 mit dem Werte w.