Transzendenz dyadisoher Brüche.

375

§5.

Konvergenz des Kettenbruches.

Die Differenz zwischen un( i dem w-ten Näherungsbruche der

Kettenbruchdarstellung (15) läßt sich auf Grund der Definition von

<I> ) und der Darstellung (10) in der Gestalt

2

k=l

• p

k —

3«

[kw]

l-(-l)" V 1

c*

2,

Ä=1 *

hq n

schreiben. Für gerades n fällt die zweite Summe fort und die Koeffi-zienten der ersten Summe sind Null oder negativ. Da

[Je w) < kivist, findet man nach (7)

und k — — 1 <

k*

[kw\ —

V

k —?„

<Ck\w

1 <

+1

1.

Dagegen erhält man bei ungeradem n, wo die Koeffizienten der erstenSumme Null oder positiv sind, aus den Ungleichungen

die Beziehung

V 'k-*

<k-

— [kw] < k

und kw — 1 < [&m>]

w) -j- 1 <

2„?„ + 1

+ 1.

Nun sind hier aber die Koeffizienten der abzuziehenden Summe Null oderEins; die rechte Seite der vorstehenden Ungleichung ist also eine Majo-rante der Koeffizienten des gesamten Klammerausdruckes.

In diesem Klammerausdrucke verschwinden aber nach den Hilfs-sätzen 1 und 2 alle Glieder, für die der Exponent von £ die Zahl q n + 1nicht übertrifft; und damit gelangen wir zu der Abschätzung

i Pn{C)

\ Qn(C)

Mt)

H' I /- I " + 1 T. — -, ïn ?n+ 1 '

|C| " Ti A=l

Die Reihe rechter Hand konvergiert für 1 «< ¡ f | und hat zur Summe

( (Zn + 1 4" ( 7« + 1 1 ) I C I ( fjfn + 1 Çn +1) ^ f 1 I ^^1^1 1 ^ ^ I ^ I

< \ l+ 7J\ L+ ïrrJ

Qti f ¿n + 1 ( I £ I 1 )