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P. E. Böhmer.

Aus der so bewiesenen Ungleichung

(17) 'frfy -^(?) <(i + 1 )(i+—)— 1 — K ~ 1|2|C J für i<i

x« ( £ ) Í ^ ^ + X' j £ I +1 (|£| — 1)"

folgt der Satz:

Im Bereiche l <jf| konvergiert der Kettenbruch (15) gleichmäßigund stellt dort die Funktion 'Ç cp dar.

§6.

Beweis des Theorems.

Wählt man 'Q als eine natürliche Zahl gleich oder größer als 2, dannwerden die Teilnenner A n und die Näherungsnenner Q n sämtlich natür-liche Zahlen; daher stellt dann die rechte Seite von (15) die regelmäßigeKettenbruchentwicklung des Zahlwerts der linken Seite dar.

Hilfssatz 4. Für 0 < n besteht die Ungleichung

(IS)

Beweis. Aus den Darstellungen

Q und A

Í-1 ^»+1 C"-1

ergibt sich

Q^ +1_1 __ (C g "-l) a »+i

-^» + 1 (C — l) a « + 1 1)

(1 — Ç~ q " )"" + ! _1

Für 1 < a n+1 ist der Zähler kleiner als 1, während der zweite undder dritte Nennerfaktor größer als 1 sind; der erste Nennerfaktor endlichnimmt nur für f = 2 den Wert 1 an und ist sonst stets größer als 1.Ist dagegen a n + 1 = 1, so geht der ganze Bruch in 'r ~ q n-i über, ist alsokleiner als 1, da für 0 < n stets 1 ^q n _ 1 ist. Der Bruch ist also injedem Falle kleiner als 1, w. z. b. w.

Die Teilnenner a n des regelmäßigen Kettenbruches für w seien jetztunbeschränkt, d. h. es lasse sich zu jeder vorgegebenen natürlichen Zahl vein Zeiger n so finden, daß

v < a n+l

ist. Nun heißt eine Zahl