Transzendenz dyadischer Brüche.

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mit den Näherungsnennern Q n eine Liouvillesche, wenn zu jeder noch sogroßen natürlichen Zahl v ein Zeiger n gefunden werden kann, für den dieUngleichung

Q V n<A + 1

gilt 5 ). Da nach Hilfssatz 4

" = a n + i - 1

die Ungleichung erfüllt, stellt 'Qcp (y) für jede natürliche Zahl £, die 1 über-trifft, eine Liouvillesche Zahl dar ; und das gleiche gilt von cp ^ selbst.Nach einem bekannten Satze von Liouville 6 ) ist aber jede LiouvillescheZahl transzendent; die in unserem Theorem, behauptete Transzendenzvon u = cp (I) ist damit bewiesen, darüber hinaus aber, daß auch die

Zahlen cp mit £ = 3,4,5,..., insbesondere also auch die dyadischenBrüche

<F ( 2 l) [m = 1, 2, 3, .. .]

transzendente Zahlen sind. Man sieht endlich leicht ein, daß die sämt-lichen Ergebnisse dieser Arbeit auch dann bestehen bleiben, wenn \w]von Null verschieden ist ; denn in diesem Falle ändert sich die Darstellung(15) nur dahin ab, daß rechts die Zahl

[w]£ = A 0

als nullter Teilnenner hinzutritt.

Dresden, im August 1925.

5 ) Vgl. O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig u. Berlin 1913,S. 140 f.

6 ) J. de math. 16, 1851.

(Eingegangen am 6. 11. 1925.)

Mathematische Annalen. 96.

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