Zur Theorie der lastperiodischen Funktionen.

Von

G. Szegö in Berlin.

(Auszug aus einem Briefe an H. Bohr.)

... In einer kürzlich in den Comptes Rendus erschienenen Note 1 )beweisen Sie das folgende interessante Theorem:

Wenn eine fastperiodische Funktion f[x) der reellen Veränderlichen xeine beschränkte Exponentenfolge besitzt,

(1) \A v \<K (* = 1,2,3,...),

dann ist fix) eine ganze Funktion; d. h. es gibt dann eine ganze Funktionder komplexen Veränderlichen x, die sich auf der reellen Achse auf f(x)reduziert.

Der a. a. O. 1 ) für dieses Theorem gegebene Beweis beruht auf einemzentralen Resultat der II. Mitteilung Ihrer Arbeit Zur Theorie der fast-periodischen Funktionen aus den Acta Mathematica 2 ), nämlich auf demsog. verschärften Approximationssatz 8 ). Es soll nun im folgenden für dasobige Theorem ein kurzer Beweis angegeben werden, der von diesem Satzekeinen Gebrauch macht und aus den Hauptergebnissen der Theorie derfastperiodischen Funktionen nur den sog. Eindeutigkeitssatz 4 ) heranzieht.

1 ) H. Bohr, Sur une classe de transcendantes entières [Comptes Rendus 181

(1925), S. 766-768],

3 ) I. Mitteilung: 45 (1924), S. 29-127; II. Mitteilung: 46 (1925), S. 101-213;III. Mitteilung: 47 (1926), S. 237—281. — Diese drei Arbeiten werden im folgendenmit I, II, III zitiert.

3 ) Vgl. II, S. 184. Man könnte übrigens den in Rede stehenden Satz auch auseinem Resultat von III (S. 265) schließen (vgl. H. Bohr, Uber allgemeine Fourier- undDirichletentwicklungen, Den Sjette Skandinaviske Matematikerkongres, S. 173 —190,insb. S 183), das jedoch in III ebenfalls mit Hilfe des verschärften Approximations-satzes bewiesen wird.

4 ) Vgl. I, S. 54.