G. Szegö. Fastperiodische Funktionen.

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Dieser lautet: Wenn für eine fastperiodische Funktion fix) die (notwendigexistierenden) Grenzwerte

X

(2) lim — [f(x) e~ i,x dx (A reell)

o

für alle reellen Werte von A verschwinden, dann ist f{x) identisch gleich 0.

Als wesentliches Hilfsmittel wird ferner eine Integralbildung benutzt,die dem Fejérschen Integral analog ist und, auf eine fastperiodische Funktionangewendet, ein Analogon der Fejérschen Mittel der gewöhnlichen Fourier-schen Reihe liefert. Schließlich werden die Ergebnisse mit einem Satz vonS. Bernstein kombiniert; dies liefert eine weitere interessante Eigenschaftder fastperiodischen Funktionen, welche durch die Bedingung (1) charak-terisiert sind.

1. Es sei zunächst f[x ) eine beliebige, im Intervall — oo < x < codefinierte beschränkte und stetige (nicht notwendig fastperiodische) Funktion.Wir setzen für jedes positive (nicht notwendig ganze) n

(3) 4(.)--± /«* + *,.££)« -

— CO — co

Das letzte Integral konvergiert auch für komplexes x und zwar gleich-mäßig in jedem endlichen Bereiche der a;-Ebene: f (x) ist eine ganzeFunktion von x.

2. Es sei jetzt f{x) eine fastperiodische Funktion und

(4) f(x)~ £a r e iA * x

V— 1

5 ) Solche Integrale sind in der Literatur öfters betrachtet worden. Vgl. z. B.G.H.Hardy, Notes on some points in the integral calculus, LVI: On Fourier's seriesand Fourier's integral [Messenger of Mathematics 52 (1922), S. 49 —53], s. insb. S. 52,(11). — Im Falle einer periodischen Funktion reduziert sich (3) wegen

CO

y i = i

^.(f+a ( 2sin |) 3

auf die gewöhnlichen Fejérschen Mittel.

Es ist, wie man auf eine geläufige Weise zeigen kann,

lim f n (a

und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle (bzw. gleichmäßig für — co 0<; oowenn f {x) auf der ganzen reellen Achse gleichmäßig stetig ist).

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