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ihre Fourier-Entwicklung. Dann ist, wie unmittelbar ersichtlich, f n (x)

ebenfalls fastperiodisch "). Ich behaupte, daß ihre Fourier-Entwicklungfolgendermaßen lautet:

(5)

Mr I < »

wo, wie angedeutet, nur solche Glieder vorkommen, für die ¡ A,. < il gilt.Es gilt, wenn 1 eine beliebige reelle Zahl ist,

X <*> / X \ / ■ n t\°

i r 2 r i c \ sin 2

yj f n {x)e-* ix dx= —J ( r J f{è + x)e-^*dx\[—ç—)dÇ

X

O — OD \ O

2n h .

?+X N fsin -^Y

Çm i Ç , -v.x , \ 2 ,-Je I I f{x)e dx \—|— J dç .

— co \ § /

Nun hat man gleichmäßig in f 7 )

Folglich ist

¡ c x

lim yr f(x) e~ iix dx = a(À) —

a,.

für X

0

sonst.

CO

/ • n

r

l sin "9

1 e

ail 2

J

V I

lim ^ f n (x) e~ iix dx = a(X) \— f~/ •

^ * 0 —co

Das letzte Integral kann wegen

cc ( . % J\ " X

(0)

v/ nn J \ £ / nn J t 2

— co

leicht ausgerechnet werden. Es ist

co / . n A 3 CO

2 U m « ) = JL f cost?(l-coBnt)

njiJ \ Ç / s t 2

CO QO 00

1 feos/, f — 1 , e 1 feos^ + tt)! — 1 ,. 1 feos (A — n) | — 1 , ,.

~ njcJ f 2 2^J" £ 2 _ 2wlrJ — p -

— CO — CO —CO

. ill I I ¿ + n j , l¿-n| = I 1 - 1 ' ' wenn 1 1 I ^ w '

n 2»i ■" 2 m j

I 0 sonst,

womit (5) bewiesen ist.

8 ) Die Funktionen f n (x) und f (x) bilden sogar eine sog. ausgezeichnete Menge.Vgl. II, S. 107.

') I, Satz VIII, S. 45-46.