Fastperiodische Funktionen. 381

3. Betrachten wir nun eine fastperiodisclie Funktion f(x), deren Ex-ponentenfolge A ,, beschränkt ist,

\A V \<K (*=-1,2,8,...).

Dann ist also für n^> K

cc

40) ~ ib 7 - ^r) UveiAyX -

v=t

Hieraus folgt

CO

(« + l)f n+i (x) — n /*„ (®) a r e iA v x ,

V=1

so daß nach dem Eindeutigkeitssatz

(7) f{x) = (n+l)f n+1 (x) — nf n (x)

r/rtf ) {(—(—f^r-)'} « •

= 1.

Das Integral auf der rechten Seite stellt hier eine ganze Funktionvon X dar, womit die Behauptung bewiesen ist.

4. Es gilt etwas allgemeiner als (7) für jedes a > 0

(8, f( x ) _ +

2

it a

(n>K).

Wir wollen diese Darstellung benutzen, um die Funktion /'(a;) und ihreAbleitungen auf den zu der reellen Achse parallelen Geraden abzuschätzen.

Es sei X = u + i V gesetzt (u, v reell) und M bezeichne die obereGrenze von \f(u)\ für — co < u < oo. Dann folgt aus (3) für »4=0

I I

2 M f sin

CO

< ^ (= ~ññ-í

CO

< — f

— nie J

11

sin (f — i«)f — i«

COsh HD- COS

c--!-r a

< ii c " sh " r -- + M < Jí C e" w ,

— W r ;■ 1

wo C eine absolute Konstante ist.