382 G. Szegö. Fastperiodische Funktionen.

Aus (8) schließen wir also, daß

(9) \f(u + iv)\ < 2 SE±SÙMC e w+a)\v\ ( a > o).

Für ganze Funktionen von dieser Art kann aber nach einem Satzevon S. Bernstein f'(u) für reelles u abgeschätzt werden 8 ). Es ist

\f\u)\^(K-\-a)M (-co < « < oo),

und da dies für jedes a gilt,

I f'{u)\<^KM (— oo < u < oo).

Eine ähnliche Abschätzung gilt für die höheren Ableitungen:

(10) \f n \u)\ £K m M (-oo <«<«>; m = 0, 1,2, ...).Hieraus folgt übrigens, daß schärfer wie (9)

oo i«»+«)i

ml

I m—O

< Me K l®l

gilt 8 ). Es ist ferner, wie man auf dieselbe Weise zeigt,

(10') \f m (u + iv)\<K m Me K 1*1 (m = 0,1 ,2,...).

Aus (7) ersieht man schließlich, daß sämtliche Ableitungen von f{x) aufder reellen Achse und auf allen dazu parallelen Geraden fastperiodisch sind.Wir erhalten also das folgende Theorem:

Es sei f(x) eine fastperiodische Funktion der reellen Veränderlichen x,deren Exponentialfolge beschränkt ist,

\A V I < K (r = l, 2, 3,...).

Dann ist fix) eine ganze Funktion, die samt ihren sämtlichen Ablei-tungen auf allen zur reellen Achse parallelen Geraden fastperiodisch ist.Es gelten ferner bei beliebigem komplexem x die Ungleichungen

\f'*0(x)\:£K m MeXl3*\ (m = 0, 1,2, ...),

wobei M die obere Grenze von j f(x)\ für reelle x bezeichnet 10 ).

Berlin, März 1926.

9 ) S. Bernstein, Sur une propriété des fonctions entières [Comptes Rendus 176(1923), S. 1603—1605]; vgl. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus derAnalysis [Berlin, J. Springer, 1925], Abschnitt III, Nr. 165, 1, S. 116—117, 289,Abschnitt IV, Nr. 201, 2, S. 35, 218-219.

9 ) Vgl. G. Pólya und G. Szegö, a. a. 0. 8 ), Abschnitt IV, Nr. 202, 2, S. 36, 219.

10 ) Dieser Satz kann — abgesehen von der Abschätzung von /" ( " !> (x) für7>i= 1, 2, 3, ... — auch mit Hilfe der Beweismethode der Bohrschen Note erhalten werden.

(Eingegangen am 17. 3. 1926.)