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S. Bochner.

Die eben gegebene Charakterisierung läuft offenbar darauf hinaus,daß die Funktion f(f, »;) in jeder Variablen (bei Festhalten der anderen)eine fp. Funktion ist, und daß die zu den Parametern j ; und | gehörigenFunktionenmengen

9?,(£) = V)

v>e(v) = f{£> v)

ausgezeichnete Mengen sind. Nach Satz V kann man dann die Funktioneny\{r¡) gleichartig durch ein Polynom in r¡

5] a n (£)

approximieren, in welchem a n (f), von einem konstanten Faktor abgesehen,den Wert des „Fourierkoeffizienten"

hat. Jede solche Funktion a„(f) ist aber, wie unschwer zu zeigen, fast-periodisch in f, also durch Polynome in £ approximierbar, woraus dannendgültig folgt, daß man bei jedem e Approximationspolynome von f(f, ■>])der Gestalt a n angeben kann:

I /"(£, rj) — 2 a n I <¡ e.

Die eben skizzierte Zurückführbarkeit des „mehrvariabligen" Approxi-mationssatzes auf den „einvariabligen" schließt in sich, daß der Bohrsche„Fundamentalsatz" nicht nur für die einvariabligen, sondern auch für diemehrvariabligen fp. Funktionen das „Fundament" abgibt. Der Approxi-mationseigenschaft ist es zuzuschreiben, daß auch alle anderen Eigen-schaften der einvariabligen Funktionen sich in analoger Weise auch vonden mehrvariabligen behaupten lassen.

Die Gesamtheit der fp. Funktionen, die wir behandeln werden, wird(im Falle zweier Variablen) nicht größer sein als die eben umschriebene,nur daß wir eine (scheinbar) allgemeinere Definition zugrunde legen wer-den, indem wir nur verlangen werden, daß die Verschiebungsvektoren (o, o)flächenhaft relativ dicht in der g -a- Ebene liegen sollen, derart, daß siein jedem Rechteck von den Längen ^(e) und Z 3 (e) mit irgendeinem Vektorvertreten sein sollen.

Die Zurückführung dieser Definition auf die obige Charakterisierung,die man auch in einfacher Weise nach der Beweismethode zu Satz III ausAbh. I vornehmen kann -), wird sich auf dem Wege über die Normalitäts-eigenschaften der fp. Funktionen ergeben.

Unsere Definition der Fastperiodizität wird sich von vornherein aufFunktionen unendlich vieler Variablen erstrecken. Die Behandlung der

-) Diese Bemerkung rührt von Herrn H. Bohr her.