Fastperiodische Punktionen. II.

385

mehrvariabligen Funktionen ist gar nicht anders als die der zweivariabligen,bei den unendlichvariabligen tritt noch hinzu, daß eine solche Funktion sichin erster Linie durch endlichvariablige fastperiodische approximieren läßt.

Durch passende Wahl der Bezeichnungen und Begriffe gelangen wirzu einer wörtlichen Übertragung fast aller Sätze über einvariablige Funk-tionen. Unter anderem existieren Fourierreihen, mit denen formal ge-rechnet werden kann, Sätze über Summation durch Fejérpolynome, gleich-artige Summation, ausgezeichnete Mengen, Zurückführung der allgemeinenFunktionen auf grenzperiodische usw.

Im letzten Paragraphen bemerken wir noch, wie sich Integralgleichungenmit fp. Kernen wörtlich ebenso wie die mit periodischen behandeln lassen.

§7.

Einige Definitionen.

Jede Zahl im üblichen Sinne werden wir zur Unterscheidung vonnoch einzuführenden anderen Zahlen als „skalar" bezeichnen.

1. Unter einer Funktion f(x) schlechthin verstehen wir von nun aneine Funktion von endlich oder abzählbar unendlich vielen Variablen.Der zugrunde gelegte Variablenraum

X — (X, X, X, . . .)

12 3

umfaßt alle Punkte

— co <• X < + oc [v = 1, 2, 3, ...).

V

Die Zahl x heißt die v-te Komponente des Punktes x. Im Falle

V

eines nicht als endlichvaTiablig spezialisierten Raumes ist eine endlich-variablige Funktion eine solche, die in allen Komponenten von einembestimmten Index an konstant ist.

2. Wenn irgendwo im folgenden eine ganze Zahl, z.B. N, als variablerIndex der Komponente x unendlich groß werden kann oder soll, dann

N

heißt das im Spezialfälle eines endlichvariabligen Raumes oder einer endlich-variabligen Funktion, daß von einer gewissen Stelle ab diese ganze Zahl,z. B. N, dem konstanten Wert n der Dimension des zugrunde liegendenRaumes gleich sein kann oder soll.

3. Es gelten die Abkürzungen

f(x) = f{x, x, x, ...),

12 3

X = (X, X, X, . . .),

12 3

c = (c, C , C, .••)}

12 3