Fastperiodische Funktionen. II.

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¿i -j- <5 2 — (ó a + da, Min [N 1 ,N <¡ ))kô = (kô', N).

Eine Folge von Enfcfernungszahlen á,, v = 1, 2, 3, ..., heiße gegen Null kon-vergent, falls

ö' v —»0 und N r —»oü (vgl. 2).

v —y co v —► co

6. Von zwei Punkten x 1 und x„ sagen wir, daß sie einen Abstand ^ (5haben,

¡ — x 3 I ^ ô,

falls

\ x i~ x *\úá' 0' = 1, 2, ..., N).

V V

Aus x 1 — x 2 I ^ ö und ô folgt ¡ x x — x 9 | ^ , aus | x 1 — x. 2 \ <¡ ôund k > 0 folgt k x 1 — k x 2 | <j k ô und aus x 1 — x<¡ j <[ und] — cc 3 <1 (\ 2 folgt I x t — x a | ^ ô 1 -(- ó<¡ .

7. Die <5-Umgebung des Punktes x besteht aus allen Punkten y, fürwelche y — x I <[ ci und die ¿-Umgebung der Punktmenge X aus denö- Umgebungen aller Punkte x aus X. Eine Punktfolge x x , x<¡, ... kon-vergiert gegen x 0 , wenn in jeder Umgebung von x 0 nur endlich vielePunkte x v nicht enthalten sind, wofür notwendig und hinreichend ist, daßkomponentenweise Konvergenz statthat

lim x r = x Q (m = 1,2,3,...).

r -> co m m

Nach Cantor-Hilbert besitzt demnach eine in einem endlichen Intervall ge-legene Punktmenge mindestens einen Häufungspunkt.

8. Es bedeute P v (v = 1, 2, 3, ...) die Gesamtheit der Punkte

( 9i -, ~, ..., ~, 0, 0, 0, ...) mit irgendwelchen ganzen Zahlen g 1 , g^, ..., g v ,

dann bildet die Vereinigungsmenge P = P (1) + P'" 1 + P (i) + • • • e i ne a b-zählbare, überall dicht gelegene Punktmenge, von der schärfer folgendesausgesagt werden kann.

Es gibt eine ( abzählbare) Punktmenge P derart, daß zu jedem end-lichen Intervall a<^x<Lb und jeder Entfernungszahl ö eine endlicheTeilmenge P& von P so angegeben werden kann, daß die ô - Umgebung vonP, ï das Intervall a<lx<^b vollständig überdeckt. Denn man wähle v sogroß, daß

ôv = (7' ") = 0

ist, dann leisten diejenigen (endlich vielen) Punkte aus P (l '', die in a<^x ^ bgelegen sind, das Gewünschte.