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S. Bochner.

9. Eine Funktion f(x) ist stetig in x 0 , wenn zu jedem e alle Punkte xeiner ô (e)-Umgebung von x 0 der Ungleichung

I f(x) — f{x o) I ^¡e

genügen. Die Funktion f{x) heißt gleichmäßig stetig, wenn ein für allePunkte x 0 gültiges ó (e) angegeben werden kann. Eine überall stetigeFunktion ist in jedem endlichen Intervall beschränkt, weil sonst in einemsolchen Intervall mindestens ein Unstetigkeitspunkt liegen müßte.

10. Es liege eine in einer Punktmenge E des x- Raumes definierteFunktion cp(x) und eine Teilmenge E' von E vor. Wir nennen <p[x)gleichmäßig stetig

a) in E', wenn für irgend zwei Punkte aus E'

I 99 ('á^ ) — cp (a; 3 ) I e für | x x — | '<§ à (e)

besteht ;

b) auf E' , wenn für einen Punkt x 1 aus E' und einen Punkt x 2 ausE die Relation

! <p( Xl ) — für I x 1 — x^ I ^ ô (e)

besteht.

Nach bekannter Schlußweise (vgl. z. B. Abh. II, S. 136) ist eine stetigeFunktion f(x) auf jedem endlichen Intervall

a <Lx <^6

gleichmäßig stetig.

11. Den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz verstehen wir im üb-lichen Sinne. Der gleichmäßige Limes gleichmäßig stetiger Funktionen isteine gleichmäßig stetige Funktion. Jede gleichmäßig stetige Funktion f(x)ist durch ebensolche endlichvariablige, z. B. die Funktionen

fn( x )=f( x > X,..., X, 0, 0, ...),

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gleichmäßig approximierbar.

12. Unter einer [Punkt-)Zahl

a = (ß, «,...)i 2

verstehen wir eine mit reellen Skalaren aufgebaute Zahl von derselbenDimension wie der zugrunde liegende Variablenraum. Wegen der Punkt-Null vgl. (1). Eine Zahl heißt finit, wenn nur endlich viele Komponentenvon Null verschieden sind. Eine ganze Punktzahl y bzw. eine rationalePunktzahl g ist eine Zahl, deren Komponenten ganz bzw. rational sind.Unter einer ganzen Zahl g bzw. einer rationalen Zahl r, ohne weiterenZusatz, ist immer nur ein Skalar gemeint. Zwei Zahlen sind gleich

a = ß,