Fastperiodische Funktionen. II. 389

wenn sie komponentenweise gleich sind

a = ß, (*=1,2,8,...),

V V

weiterhin gilt die Rechenregel

r x a + r 2 ß = [r 1 u + r^ß, r x a + r 2 ß, a + r 2 ß, ...).

1 1 2 2 3 3

Wenn von zwei Zahlen, a und ß, (mindestens) eine finit ist, so verstehenwir unter dem Produkt «/? = ( aß) das Skalar

CO

2 aß.

V=1 V V

Wo immer ein Produkt der Gestalt i. t auftritt, wo „die Variable" t alsPunkt des Variablenraumes gemeint ist, wird der Faktor X als finit vor-ausgesetzt.

Für beliebige Punktzahlen a und ß verstehen wir unter [aß] diePunktzahl [aß, aß, aß, ...].

1 1 2 2 3 3

18. Auf Punktzahlen übertragen sich wörtlich alle Betrachtungen aus§ 1, 14 bis 19, die wir gedrängt resümieren. Als (finite) Zalilenmenge be-zeichnen wir immer eine endliche oder abzählbare Menge von unterein-ander verschiedenen (finiten) Zahlen. Jede im folgenden vorzunehmendeOperation führt bei finiten Zahlenmengen immer nur auf finite Zahlen-mengen. Unter einer reduzierten Zahlenmenge verstehen wir eine Zahlen-menge, deren Elemente a 1 , , a 3 , ... keine lineare Verbindung mit ratio-nalen r

«i + « 2 + ••• +r k a k = 0 (I î-i ! + | r a | + ... +| r k | > 0),also kein simultanes Gleichungssystem

+ r 2 ß 2 + ... + r k a k = 0 (v = 1, 2, 3, ...)

V V V

zulassen. Weiterhin erinnern wir an die Begriffe: Basis einer Zahlenmenge,linear unabhängige Zahlenmengen, Modul, ganzer Modul G{a 1 ,a ¡¡ , ...,a k ),Vereinigungsmodul, und an den Satz: Jeder Modul läßt sich durch end-liche ganze approximieren. Ebenso wie im einvariabligen Falle (vgl. Abh. II.S. 122) sprechen wir von einer ganzen Basis (ß 1 , « 2 , a s , . . .) der (beliebi-gen) Zahlenmenge (| 1S f 2 , ...), wenn in den Darstellungen

iv = rï' ] a 1 + ri v) a 2 + ... {v = 1, 2, 3, ...)

alle Koeffizienten r¡, r) ganz sind.

14. Die stetige Funktion f(x ) soll reinperiodisch mit der Periode

V = {Vi, Ps»P 8 ,---) (P» + o)