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S. Bochner.

heißen, wenn für jede ganze Punktzahl y

f(x-\~[yp]) = f(x),w ozu genügt, daß f(x) i n jeder Komponente x reinperiodisch mit der

m

Periode p m ist

f(...,x + p m ,...) = f(...,x,...).

m m

Unter einer grenzperiodischen Funktion f(x) mit der Grenzperiode

P = (Pi> Pa>--')

ist eine Funktion gemeint, die sich gleichmäßig durch reinperiodische mitPerioden der Gestalt [gp] ( Q beliebig rational; vgl. 12) approximierenläßt, wozu notwendig und hinreichend ist, daß sie sich durch reinperiodi-sche Funktionen mit Perioden rp (r beliebig rational; vgl. 12) beliebigapproximieren läßt (vgl. Abh. II, S. 146, § 12).

15. Zum Schluß noch eine Bemerkung. Es ist ganz klar, daß aufGrund unserer Definitionen, insbesondere der des Umgebungs- (d. h. desKonvergenz-)Begriffs alle Eigenschaften unserer Funktionen (Stetigkeit,Periodizität, Endlichvariablichkeit usw.) erhalten bleiben, wenn man voneiner festen Anordnung der Variablen zu einer beliebig anderen festenAnordnung übergeht. Der Einfachheit halber denken wir uns im folgendeneine Anordnung der Variablen beliebig gewählt und festgehalten.

§8.

Die Approximierbarkeit durch Exponentialpolynome.

1. Definition. Eine (überall im x-Raume definierte und) stetigeFunktion f(x) soll fastperiodisch heißen, falls es zu jedem e eine ,, Inter -vallänge" l = 1(e) (l > 0) derart gibt, daß jedes Intervall a < r < ß der

V

Länge ß — a — l mindestens eine Verschiebungszahl x (f, e) enthält, d.h.eine Punktzahl t, welche der Relation

I f(x + t ) f(x) I ^ s (— oo < a; < + oo)

genügt.

Wir werden uns dahin ausdrücken, daß die Verschiebungszahlen r.(f,e)relativ dicht liegen, und werden im allgemeinen unter dem relativ dichtenAuftreten von Punkten einer gegebenen Menge die Existenz einer Länge lmeinen, so daß jedes Intervall dieser Länge mindestens einen der frag-lichen Punkte enthält.

2. Satz XXV. Jede fp. Funktion f(x) ist beschränkt und gleich-mäßig stetig.