Fastperiodisclie Punktionen. II.

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Beweis. Man bestimme zu e = 1 die Verschiebungslänge Z = 2(1).Im Intervall 0 x l hat | f(x) | eine Schranke G (vgl. § 7, 9.), also ist

! f( x ) I ^ $ + 1 (—oo<x<+°°)-

Um zu einem e ein Stetigkeits -ö(e) zu erhalten, bestimme man zudas l und zum Intervall

(1) 0^x£l

ein zu 4) gehöriges ô x für die gleichmäßige Stetigkeit auf diesem Inter-vall. Dann kann man ô { e ) = ô 1 setzen. Von zwei Punkten | x 1 — | ¿»jkann man nämlich x 1 durch eine Verschiebungszahl nach (1) ver-

schieben: 0 <¡ x 1 -j- r ^ l ) , woraus folgt

\f( x i) — f( x *) I ú\f( x i + T ) - f( x 2 + T ) I + \f( x i + r ) — f( x i) I

+ |/'(« 9 + «) — fi X i)\

^ e I £ I £

^ 2" + T + T = e -

Satz XXVI. Die Limesfunktion f{x) von gleichmäßig konvergentenff. Funktionen f ± (x), f 2 {x),f a (x), ... ist wieder fastperiodisch.

Beweis. Wenn | f n (x) — f{x) | ^ y ist, ist jedes r (f n , ein r (f, e).

Satz XXVII. Jede (stetige) reinperiodische Funktion {demnachauch jede grenzperiodische Funktion) ist fastperiodisch.

Beweis. Wenn p = {p 1 , p 2 , p 3 , ...) eine Periode der Funktion ist,kann man jedem e die Verschiebungslänge l=2p zuordnen.

Kor o llar. Jeder Exponentialausdruck ae i,x , d. h. jeder {endlich-variablige) Ausdruck der Gestalt ae' 11 32 ist fastperiodisch.

Es kommt jetzt der Satz an die Beihe, daß die Summe zweierfp. Funktionen wieder fastperiodisch ist. Dieser Satz wird sich auf demWege über die Normalitätseigenschaft ergeben, der wir uns nunmehrzuwenden.

3. Unter der Verschiebungsfunktion vJr) einer (beliebigen) be-schränkten Funktion f ( x ) verstehen wir die in — oo < t < -f- oo(—oo<r<-|-oo; '' = 1,2,3,...) definierte reelle Funktion

Vf(r) == Ob. Gr. \f{x J r x) — f{x)\.

— CO <C$<C + 00

Bei fp. Funktionen werden wir wiederum die Bezeichnung e(x) gebrauchen.

Satz XXVIII. Damit eine Funktion e(r) eine {fp.) Verschiebungs-funktion ist, ist notwendig und hinreichend, daß sie die nachfolgenden