392 S. Boehner.

Bedingungen a), b), c), d) oder a), b), c), d" ) erfüllt. Die Verschiebungs-funktion von e(r) ist wiederum e(r).

a ) e ( T ) ^0, e(0) = 0,

b) e(r)== e( — x),

c ) e ( r i + t 2) ^ e ( T x) + e ( t 2) bziu. \e(r 1 +t 2 ) — e(r l )\ ^.e(r a |,

d) e(r) ist fastperiodisch,

d ) e( t) ¿sí stetig im Punkte t = 0und f ür jedes e liegen die Punkte e (r) ^ e relativ dicht in — oo < x < -f- oo.Beweis: Wörtlich wie in § 4, 1.

Satz XXIX. Die Verschiebungsfunktionen e^ (r), e^(r), e f „ (r), ...von gleichmäßig konvergenten fp. Funktionen f 1 (x), f., (x), f z (x), ... kon-vergieren gleichmäßig gegen die Verschiebungsfunktion der Limesfunktionlim f n {x).

n-> oo

Beweis. Wie zu Satz XII und XIII.

4. Eine ausgezeichnete Menge (vgl. § 1, 8.) ist eine Gesamtheit vonfp. Funktionen, die für jedes e gemeinsame Stetigkeits-<5(s) und gemein-same relativ dichte Verschiebungszahlen r («) besitzen.

Eine fp. Funktion f(x) ist Majorante der Funktion g (x), falls

e f (r)>e g (T).

Im Falle e f {r) = e g (r) heißen die Funktionen ähnlich. Funktionen mit ge-meinsamer Majorante bilden eine majorisierbare Menge.

Satz XXX. Jede ausgezeichnete Menge ist majorisierbar und jedemajorisierbare Menge ist ausgezeichnet. Für jede majorisierbare Menge

e i (r) (i durchläuft eine Indexmenge D )

ist die Funktion

e(r) = Ob. Gr. (e f (r))

i\D

die kleinstmögliche (Verschiebungs-)Majorante.

Beweis. Man überzeugt sich leicht, daß der Beweis zu den Sätzen XIXund XX wörtlich herübergenommen werden kann.

5. Eine stetige Funktion f(x) soll eine Normalfunktion heißen, wennaus jeder Folge f(x +Jfc v ) (»>=1,2,3,...) mit irgendwelchen Punkt-zahlen k v eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann.

Satz XXXI. Jede fp. Funktion ist eine Normalfunktion und jedeNormalfunktion ist eine fp. Funktion.

Beweis. Wir haben zuerst zu zeigen, daß aus jeder Folge f(x-\-k y )(»» = 1,2,3,...) eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werdenkann. Ähnlich wie in § 5, 3. werden wir die Auswählbarkeit schon für