Fastperiodische Funktionen. II. 393

den Fall einer beliebigen (gleichartig) beschränkten ausgezeichneten Folgenachweisen. Es liege eine derartige Folge

fi(x), f t (x), f a (x), ...

vor. Wir bestimmen eine Teilfolge

(2) fi(x), fl(x), fs(x),...

derart, daß sie in jedem Punkte der Punktmenge P aus § 7, 8. konvergentist. Die Folge (2) ist dann gleichmäßig konvergent. Sie ist nämlich injedem endlichen Intervall a <^b gleichmäßig konvergent. Denn be-stimmt man zu ~ ein ô der gleichartig gleichmäßigen Stetigkeit und zu

diesem die (endlich vielen) in a ^ x <j b gelegenen Punkte P s (vgl. § 7, 8.)und ein so großes N, daß in den Punkten

für m^N, n^>N,

dann ist für jeden Punkt aus a <^x <¡6

I C{x) - n (x) I ^ I fm (Í) — /» (í) I + I f¿ (f ) - f!n (x) \

+ I fñ (£ ) — fn (®) |^2"+j+4" = e,

wobei I den x nächstgelegenen Punkt aus Ps bedeutet. — Und nunschließt man wörtlich wie in § 5, 3., daß jede ausgezeichnete Folge, dieauf jedem endlichen Intervall gleichmäßig konvergiert, auch schlechthingleichmäßig konvergent ist.

Es sei umgekehrt eine Normalfunktion f(x) gegeben, wir haben zu.zeigen, daß sie fastperiodisch ist. Aus der Auswählbarkeit folgt, daßj f(x) I beschränkt und f(x) gleichmäßig stetig ist. Ganz wie in § 5, 4.schließen wir, daß auch die Verschiebungsfunktion

vJr) = v(t ) = v(r, r,r, .. .)

12 3

eine Normalfunktion ist. Daraus folgt sehr leicht, daß jede ¡i -variabligeFunktion

(3) cM(ï) = t,(t, t r,0, 0, ...),

12 f i

und insbesondere jede einvariablige Funktion

v (1> ( t) — v (0, 0, ..., r, 0, 0, ...)

V V

eine Verschiebungs- und Normalfunktion ihres (bezüglichen) Variablen-raumes ist. Von emvariabligen Normalfunktionen wissen wir aber (§ 5, 4.),

Mathematische Annalen. 96. 26