394 S. Bochner.

daß sie fastperiodisch sind, also liegen für jede Funktion e (1) (r) die Punkte

V

ß(1) ( T ) ^ e relativ dicht. Aus der wegen c) bestehenden Ungleichung

V

v w (r) ^ e (1) (r)

1> = 1 V

folgt aber, daß auch (t) fastperiodisch ist (nach d*)), und daher istauch v(t) selbst, wegen der Approximierbarkeit durch Funktionen (3), fast-periodisch.

6. Satz XXXII. Die Summe und das Produkt zweier fp. Funk-tionen f{x) und g (x) sind wieder fastperiodisch.

Beweis. Es ist einzusehen, daß f(x)-\-g(x) eine Normalfunktion ist.Denn man kann aus f(x + k v ) + g(x -f- k,.) (v =1,2,...) „auswählen",wenn man aus jeder Unterfolge von f(x-\-k r ) und g(x-\-k v ) auswählen kann

7. Wegen

= \[(f+ff) 2 - (f- 0O 2 ]

ist auch das Produkt von f(x) und g(x) wiederum fastperiodisch.

Korollar. Jedes Exponentialpolynom Jv 1 a m e L/ ' mJ und auch jedegleichmäßig konvergente Reihe a n e u '" x stellen durch ihre Summenfp. Funktionen dar.

8. Wir kommen jetzt zur Zuriickfiihrung unserer Definition der Fast-periodizität auf die in § 6 angegebene „Charakterisierung".

Satz XXXIII. Es seien eine fp. Funktion

(4) f(x) = f(x, x, ..., x, x, ...)

12 k &+1

und ihre Verschiebungsfunktion e f {x) gegeben. Für jedes k und jedeWahl der konstanten Werte x = c, x — c,... ist die Funktion

yfc-f 1 &-+-1 k+2 k-\~ 2

(5) f(x, x, ..., x, c, c, ...)

12 k & + 1 7c+ 2

eine fp. Funktion in (x,x,...,x). Läßt man bei konstantem k die

12 k

Parameter c, c, ... beliebig variieren, dann ist diese Gesamtheit von

&+1 Ä + 2

Funktionen in (x, x, ..x) majorisierbar mit

12 k

(6) eAz, t, . .., x, 0, 0, ...)

12 k

als Majorante. Insbesondere ist bei jedem v die Gesamtheit der Funk-tionen

(7) f(c, c, c, x, c, c, ...)

1 2 v— 1 v v+1 v + 2

majorisierbar mit e f (0, 0,. .., t , 0, 0, ...) als Majorante.