Fastperiodische Funktionen. II. 395

Sind umgekehrt für eine gleichmäßig stetige Funktion (4) bei jedem vund jeder Wahl der Konstanten (c,c, c, c, . ..) die Funktionen (7)

1 2 v-\ r + 1

fastperiodisch und bei festem v majori si er bar, dann ist die Funktion f(x)auch fastperiodisch.

Beweis. Es sei k gegeben. Es besteht die Gleichung

(8) eJt, r, 0, 0, ...)

12 lc

= Ob. Gr. I f(x -\-r, ..X ~r r, x, x, ...) — f(x, x, .x, x, ...) j .

— oo<a;<+ œ 11 k k k+ 1 fc+2 12 k fc +1

Bildet man die rechte Seite von (8) bei festgehaltenen x, x, dannentsteht eine Funktion i+1 h+ ~

(9) x, ...),

12 k A-+1

die als Funktion in ( t , r, ...,r) den Bedingungen a), b), c) genügt und

1 2 k

5^ eÂx, t , .. x, 0, 0, ...) und daher eine fastperiodische Verschiebungs-

12 k

funktion mit (6) als Majorante ist. Also ist jede Funktion (9) fast-periodisch. Die Relation

Ob. Gr. I f(x + t, .. x + t, x, ...) — f(x) |

— co<œ< + co 11 je je jc + 1

= Ob. Gr.

X, X, ..

k +1 jc+2

Ob. Gr. I f(x + r, ..., x + r, x, ...) — f(x) \

x, x, x 1 1 Je k Ä+'l

Li 2 k

zeigt, daß wirklich die Funktion (6) die genaue Majorante aller Funk-tionen (9) und demnach auch aller Funktionen (5) ist.

Die Umkehrung ist evident: man kann mit Leichtigkeit eine Ver-schiebungslänge 1(e) der Funktion f(x) angeben.

9. Hauptsatz A. Damit eine Funktion f(x) eine fp. Funktion ist,ist nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig, daß sie sich durchExponentialpolynome y a n e l/ " J: ( mit finiten Punktzahlen k n ) gleichmäßigapproximieren läßt.

Beweis. Jede fp. Funktion läßt sich nach dem vorigen Satze durchendlich variablige fastperiodische approximieren, z. B. durch die Funktionen

fn( x ) = f( X > X > 0, 0, . . .).

12 n

Es liege nun die ¿-variablige fp. Funktion f(x, x, ..., x) vor. Nach dem

12 k

letzten Satze ist sie fastperiodisch in x und die Gesamtheit der Funk-tionen

(10) <& x , x X (x) = f(x,x,...,x)

1 2 k- 1 k 12 k

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