396 S- Bochner.

majorisierbar. Nach Satz V kann man daher die Funktionen (10) gleich-a rtig in (x, X, ..., x) durch ein Exponentialpolynom in x (mit skalaren l v )

i a jfc— i k

2vk a >-Á x > x > ■■■> x ) el> ' r l

1 2 jfe-1

approximieren,

I f(x) — 2 Vk A >- v ( x > ■ • •' I ^ e >

i ¡t-i

wobei p >r Konstante sind und die Koeffizienten A-,_ r die „Fourierkoef-fizienten"

A,„ = M{& x ,..., x (t) *~ iKt } = M{f(x, ..., x, t) e~ iKt }

1 x—1 1 Je—1

darstellen. Wenn wir noch gezeigt haben werden, daß A>. v eine fp. Funk-tion in x,x,...,x ist, dann ist der Hauptsatz durch Induktionsschluß

1 2 *-i

bewiesen. Wegen 7. genügt es generell zu zeigen, daß für eine fp. Funk-tion h(x, x, ..., x) in k Variablen der „Mittelwert"

12 k

g (x, x, .. x) = M{ h (x, x, ..x, t)}

1 2 k- 1 1 2 fc -1

eine fp. Funktion ist. Es sei nun r = (r, r, ..., r) eine zu e gehörige Ver-

1 2 k- i

Schiebungszahl der (k — 1 )-variabligen Verschiebungsfunktion

t ' • • • > ^ î ^ ) ,

1 4-1

wo e, (r) die Verschiebungsfunktion von h(x, ..x) ist. Dann ist nach

1 k

dem letzten Satze

\g{x-\-T) — g(x)\

^ Ob. Gr. I h(x '+ t, ..., x -j- r, t) — h(x, .. x, t)\^ e.

x, x, ..., x, t - 1 1 Je—1 ¿—1 1 Je— 1

1 2 £-1

Und damit sind wir mit dem Beweis zu Ende.

10. Bevor wir uns auf Grund des eben bewiesenen Satzes den„Schwingungseigenschaften" zuwenden, wollen wir noch einiges zu den„Verschiebungseigenschaften" bemerken.

Fp. Funktionen f^x),..., f n {x) in endlicher Anzahl haben immerMajoranten, unter denen die Funktion e(r) = Max(e^(r), ef„(r), ..ef n (r))die „kleinste" ist. — Normal&Zasse und beschränkte ausgezeichnete Mengesind ein und dasselbe (vgl. § 5, 2.)

Gegeben seien fp. Funktionen

/i(#)> f-A x )>

und irgendeine Funktion F(u 1 , u 2 , .. welche in einem Teil U des