Fastperiodische Funktionen. II. 397

Raumes (w i; w 2 (u,, = v v -f- i w v ), definiert und gleichmäßig stetigist. Wenn die Punktmenge

u v = fv(x) (— oo < X < + oo, V = 1, 2, 3, ...)

ganz in U enthalten ist, dann ist die Funktion F(x) = F(f i (x), f^(x)...)eine fp. Funktion der Variablen x.

§9.

Fourierreihen.

An Hand des Hauptsatzes A können wir die weitestgehende Angleichungunserer Funktionen an die einvariabligen betreiben. Für den Spezialfallvon rein- und grenzperiodischen (mehrvariabligen) Funktionen sind die Be-griffe „Mittelwert" und „Fourierreihe", um welche die folgenden Betrach-tungen zentrieren, bereits in Abh. II, Anhang II, eingehend entwickeltworden.

1. Es sei eine beliebige fp. Funktion f(x) gegeben. Für jede Kom-ponente x existiert (vgl. § 8, 9.) der Mittelwert

k

1 T

M{f} = M { f(x, . x , t, x ,...)} = lim = j f(x, ..X , t, x, .. .)dt

k l k-i k + 1 T->*> o 1 fc-1 i+1

und ist eine fp. Funktion in

( X, . .., X, X j X, ... )

] k—1 &4-1 & + 2

(mit eAx, 0,r, r, ...) als Majorante). Es besteht die Relation

1 2 k-1 i+l k+2

\M{f}\£ Ob. Gr. fix) I,

k -=o<a;<+«:

also auch

M{f}~ M{g}\< Ob. Gr. | f(x)-g(x)\.

k k — co < œ < + co

2. Es seien untereinander verschiedene Indizes & 15 & 3 , ..., lc n gegeben.

Wir bilden von f(x) den Mittelwert über x, von der so entstehenden fp.

k,

Funktion den Mittelwert über x und so fort bis x. Der so entstandeneMittelwert

M {f}

L\, ki, .. A n

ist eine in (x, x, ..., x) konstante, fp. Funktion in x und genügt wieder-

ki ko kji

um den Relationen

(1) I M {f}\£ Ob. Gr. \f(x)\,

k» k* ..., i« —oo<a;< + co

(2) I M {/"} — M {g-}|^ Ob. Gr. f(x) — g(x) |.

k¡ k„ ky, ..., k„ —oo<a:<+oo