398 S. Bochner.

Für ein Exponentialpolynom p(x) =^a n e i> " x erhält man den MittelwertM {p} einfach dadurch, daß in der Summe alle diejenigen

7»*i,..., Jen

Terme, die im Exponenten eine der Komponenten x,x, ...,x tatsächlich

JC\ JCn JCjl

enthalten, gestrichen werden, woraus insbesondere folgt, daß eine Ver-tauschung der Indizes k 1 , & 2 ,..k n untereinander den Wert der FunktionM {pj nicht ändert. Aus der Approximierbarkeit durch Polynome

1¿1, • • kn

und der Relation (2) ergibt sich aber unmittelbar, daß diese „Invarianz"-eigenschaft einer jeden fp. Funktion f{x) zukommt.

3. Es sei nunmehr eine beliebige unendliche Folge von Indizes

( 3 ) k 1 , k¡¡ , k s , ...

gegeben. Für ein Polynom p (x) sind die Mittelwerte M {p} von einem

JCj, Ä*2» • • •} J¿Jl

genügend großen n ab, n n 0 , alle einander gleich und zwar entstehtdiese „Limes"funktion durch Streichung aller Terme, die eine der Variablenx, x, ... faktisch enthalten. Approximiert man eine beliebige Funktion f(x)

7i*j Je 2

durch ein Polynom p{x) bis auf e, dann ist für n lt n 2 ^ n 0I M {/•}- M {/"} I ^ 2 e,

Jej, . .., Tcji J /jj ,..., 7cji n

woraus folgt, daß die Funktionen

M {/'} (n=l,2,3,...)

Jci. Je±, .. •, Jcji

gleichmäßig gegen eine mit

(4) M {/•}

, Je 2, ...

zu bezeichnende, in den Komponenten x,x,... konstante, fp. Funktion

JC J JC-y

konvergieren. An der Polynomapproximation ist auch folgendes zu er-kennen. Teilt man die Indizes (3) in irgendeiner Reihenfolge auf endlichoder unendlich viele Gruppen

k\ , kr¡ , . . .

k" k"

, /i/o , . . .

k'" k"'

^1 5 ^2 3 * * *

von je endlich oder unendlich vielen Indizes auf, dann konvergieren dieFunktionen

fi= M {f}kl. ki, ...