Pastperiodische Funktionen. II. 399

U= M {/>}

7. " 7."

«■1 » A/-2 > • • •

f 3 = ^ (A)

, r/r 7 r/r

/¿1 , K-2 , • • •

gleichmäßig gegen (4).

4. Besonders bemerkenswert ist derjenige Mittelwert, der über alleKomponenten genommen ist und also einer (absoluten) Konstanten gleich ist.

Satz XXXIV. Jede fp. Funktion besitzt einen MittelwertM{f(t)} = M{f(t,t,t, ...)},

12 3

ivelcher eine (endliche) skalare Zahl ist und (beispielsweise) als gleich-mäßiger Limes der Folge der k- fachen Mittelwerte

(5) X, ...)} (* = 1,2,...)

12 k £+1

erhalten iverden kann.

Wir wollen noch bemerken, daß man den Mittelwert (5) beliebig ge-nau durch das Integral

Z+Tx j"+r 2 s+T/c

Y~ñr —r"/ f -f ■■■>*> x ' ■■ -) ¿í ' •••' dt

i 8 " M Í S 1 k £+1 1 le

12 k

approximieren kann (sogar gleichmäßig in (f, . ..,■() und in ( x , x, ...),

1 k A +1 Je+2

wovon wir aber keinen Gebrauch machen werden), wenn man die WerteT x , T 2 , ..., T k unabhängig voneinander beliebig groß werden läßt.

5. Da mit f(x) auch ! f(x) | 2 fastperiodisch ist, existiert auch derMittelwert M { | f{t) | 2 }.

Man denke sich alle Exponentialausdrücke e ilx mit irgendwelchenfini ten Punktzahlen X aufgestellt und für die gegebene Funktion fix) dieMittelwerte

a(X) = M { f(t)e~ i '- t }

gebildet.

Satz XXXV. Zu jeder fp. Funktion f{x) gibt es nur abzählbar vieleWerte 1, für welche der Mittelwert

a(i) = M {f(t)e~ at }

von Null verschieden ist.

Mit den so herausspringenden Exponenten k (den Fourierexponenten),die wir in irgendeiner Anordnung mit A 1 , A 2 , ... bezeichnen, und dendazugehörigen Mittelwerten

A A] =a(A 1 ), A Äi == a(A 0 ), ...