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S. Bochner.

(den Fourierkoeffizienten) bilden wir formal die zu f{x) gehörige Fourier-reihe

f(x) ~ Y, Aj n e iA " x .

Die Fourierreihe einer durch die Summe einer gleichmäßig kon-vergenten Reihe T\A\ u e i)nX dargestellten Funktion stimmt mit eben dieserReihe überein; jede Folge von finiten Zahlen / kann die Exponentenfolgeeiner fp. Funktion sein.

Es bestehen die üblichen Gesetze für das Rechnen mit Fourierreihen(Abh. I, § 5), insbesondere, daß aus ■der gleichmäßigen Konvergenz derFunktionen f m (x) ^yjA^ e lA " :l gegen die Funktion f(x)^y¡Aj ¡¡ e lA '" 1(nach entsprechender „Ergänzung") die Relationen

A ( Z^A An (»=1,2,3,...)

m -> ce

folgen.

Bei festgehaltenen Exponenten l n ist der Mittelwert

v—1

am kleinsten für

a r = a[X v ) = A)_ r .

Es besteht die Parsevalsche Gleichung

2\A A X=M{\f(t) I a },

d. h. die Limesrelation

M { \f(t)- 2AA n e iAnt \*)~+ 0.

jV->-co l v = l '

Beweis. Der Beweis verläuft bis auf den letzten Absatz ganz ebensowie im Falle einvariabliger Funktionen; man vergleiche Abh. I, § 3 und 5,und (unseren) § 1. Bezüglich des letzten Absatzes ist zu bemerken, daßjede Funktion, die sich durch Polynome gleichmäßig approximieren läßt,sich erst recht durch Polynome im Mittel approximieren läßt, woraus dannunmittelbar die Parsevalsche Relation folgt.

6. Satz XXXYI. Es sei f{x) fastperiodisch. Aus

folqt

f[x) = 0.

Beweis. Wir werden folgendes zeigen. Es sei irgendeine fp. Funktion<7(2)^ 0 gegeben, und es sei z.B. g(0) — c>0. Dann gibt es einenIndex N und eine Konstante C>0, so daß für alle Werte ( x , x , ...)

iV + l if + 2

M N {g) = M{g{t, t, ..., t, x , x ,

12 N N+l N + 2