422 S. Wigert.

où il faut supposer, cependant, p> 1. Je n'ai pu décider, si la sérieconverge ou non pour p — 1. Mais pour p > 1 la convergence est absolue

1 x p ( v- v -—

et la partie du second membre succédant au terme — est = O k + l

Ce résultat est un peu plus précis que celui qu'on obtient immédiatementde la formule

(les) ds

Ts+py

t j>- i ,i p — "— ~ eà savoir 0\x i+1

Ajoutons seulement que le résultat trivial

y¡d ik) (n)(x~ ra) = £(¿)y + 0 (x ' k )

n^x

peut être précisé un peu, pourvu que k ne dépasse pas 4. En partantde l'équation

i (n)(x-n)* = Ç(k) x ¡ + f (i) ; * + ¥ + Ö t 2 "^)

n =* (1+ ïA 2+ i

2k + l

et en formant la première différence correspondant aux valeurs x -f- x 3(k+1)et x on trouve en effet

i

1+ ;

2Jd lk) ( n ) (x - n) = f (k) Ç + C (j) ^4 + 0 (z 1+3l * +1,+E ) •

n^x 1 + -y-

K,

§ 1.

Sur la fonction entière (j k , a (z) = 2j 77.— 2 \*

/t =o j^r +«+ ij

1. Nous commencerons par déduire quelques relations importantesconcernant la fonction g k a (z). On a d'abord

(1)

et aussi

Z ff' k ,J Z )= k ffk,a-l( Z )~ ka 9 k ,a( Z )>

d'où

( 2 ) ( ?i ') = z "~ lflí *.|j1 M '

relation qui nous sera utile plus tard. On trouve de même

^ > a( Z ) = (- 1 ) i V i -,a + l( Z )>