Sur une nouvelle fonction entière. 423

et

ce qui fait voir que la jonction y = g k a (z) satisfait à Véquation différen-tielle linéaire et homogène d'ordre k -)- 1

( 3 ) z ^íTI + ¿ ( K + 1 )^f + (~ 1 ) , ' + 1¿ 2/ =0 -

Disons aussi un mot sur le cas où le paramètre ci est 0. Soit Xl'entier positif défini par les inégalités

A+l ^ . X

-"F< B ^~P

c'est-à-dire X=[— ka\, en employant une notation bien connue. Ondémontre alors la formule

1 ;

/ in A + I A + I f* .

00 |/ J (i-0)^ fca+it i( 2 ô)àe+2 7 —

i Y

=° tii r (|- + a: + 1 )'

d'où nous voyons que Ç k a (z) peut s'exprimer à l'aide d'une fonction àparamètre positif. Dans ce qui suit nous supposerons toujours a > 0 .

2. Nous allons maintenant étudier l'ordre de grandeur de \ g k (z) \en nous servant de la représentation intégrale

^«( z ) = ¿ J

a+i co

r (s) ds

( a+1 -l)

(o> 0)

En posant

s = a-\-it, z = çe i 'p

on aura, comme il est bien connu

Vr'"h . , '

S

\r (s)\ = 0{\t \ a ~*e~* ltl ) , — ^ -- 0 (|C iL He^"

et par là, en supposant | cp | < ~ (l — ij ,

e

0

On peut choisir a aussi grand que l'on veut; l'ordre de g k a {z)\ pouroo sera donc inférieur à toute puissance négative de g . Si, au

contraire, | cp | ==, il faut supposer a < . Nous allons re-